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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 求助，函数不等式证明
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hubery.zhu

金虫 (正式写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 西门出海 at 2015-03-29 20:07:23
可以用反证法！与f(x)的连续性相矛盾了！

非常感谢你的回答，原题有笔误，非常抱歉，完整的题目已经修改贴在回复里
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耐得住寂寞，抵的住诱惑，拥得了繁华!
11楼2015-03-29 21:12:30
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hubery.zhu

金虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-29 21:07:23
这是显然的了。
因为f(x)是一个连续可导的函数，当x2>x1时，f(x2)<f(x1)。这说明f(x)是单调递减函数｛由拉格朗日中值定理 ，f(x2)-f(x1)=f '(ξ)*(x2-x1),由于x2和x1的任意性且x2>x1，因此ξ也就具有任意 ...

非常感谢你的回答，但是拉格朗日中值定理中的ξ是特殊的点，而不是普遍的点，详见我重新贴上的示意图
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12楼2015-03-29 21:17:15
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hubery.zhu

金虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-29 21:07:23
这是显然的了。
因为f(x)是一个连续可导的函数，当x2>x1时，f(x2)<f(x1)。这说明f(x)是单调递减函数｛由拉格朗日中值定理 ，f(x2)-f(x1)=f '(ξ)*(x2-x1),由于x2和x1的任意性且x2>x1，因此ξ也就具有任意 ...

[Latex]x_{1}[\Latex]和[Latex]x_{2}[\Latex]根据题目来理解应该是定了的
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13楼2015-03-29 21:31:11
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
10楼: Originally posted by hubery.zhu at 2015-03-29 21:07:34
非常感谢你的回答，原题有笔误，非常抱歉，完整的题目修改如下：

已知，f(x)是一个连续可导的函数，x_2>x_1\quad f(x_{1}) > f(x_{2}).
证明：一定存在x_{3}\in,使得\forall x\in 时 有 f(x) \geq f(x_{ ...

做一直线连接点(x1,f(x1))和点(x2,f(x2))。则至少存在一点（ξ，f (ξ)），使得 f ‘(ξ与该直线的斜率相同。设η设点（η,f(η))为这些点中最接近点(x2,f(x2))的一点，则：若x∈（η ，x2）则必然有f(η)>f(x2)。
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14楼2015-03-29 21:55:59
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maolo927

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
hubery.zhu: 金币+20, ★★★很有帮助, 非常感谢！ 2015-04-07 15:10:20
原命题的“可导”似多余，只要在x1点右连续即可。由右连续定义，对e=(f(x1)-f(x2)),存在delta>0
当x属于(x1,x1+delta) 时，|f(x1)-f(x)|<e , 即f(x)>f(x1) - e>f(x2).
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15楼2015-03-30 10:21:53
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hubery.zhu

金虫 (正式写手)
引用回帖:
15楼: Originally posted by maolo927 at 2015-03-30 10:21:53
原命题的“可导”似多余，只要在x1点右连续即可。由右连续定义，对e=(f(x1)-f(x2)),存在delta>0
当x属于(x1,x1+delta) 时，|f(x1)-f(x)|<e , 即f(x)>f(x1) - e>f(x2).

函数右连续的定义中有：
For any number ε > 0 however small, there exists some number δ > 0 such that for all x in the domain with c < x < c + δ, the value of f(x) will satisfy

“For any number ε > 0 however small”

那么可以让 e=(f(x1)-f(x2))
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16楼2015-03-30 11:07:40
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hubery.zhu

金虫 (正式写手)
引用回帖:
15楼: Originally posted by maolo927 at 2015-03-30 10:21:53
原命题的“可导”似多余，只要在x1点右连续即可。由右连续定义，对e=(f(x1)-f(x2)),存在delta>0
当x属于(x1,x1+delta) 时，|f(x1)-f(x)|<e , 即f(x)>f(x1) - e>f(x2).

很感谢你的回答，还请再次赐教
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17楼2015-03-30 11:09:44
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dfcky

木虫 (正式写手)
用拉格中值定理很容易解决。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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18楼2015-03-31 06:14:35
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15212223817

铁杆木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
8楼: Originally posted by hubery.zhu at 2015-03-29 20:27:47
感谢你的回答。但是我觉得不一定是”单调减函数“...

根据题意他是单调减函数。

[ 发自小木虫客户端 ]
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19楼2015-03-31 06:46:42
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
9楼: Originally posted by peterflyer at 2015-03-29 21:07:23
这是显然的了。
因为f(x)是一个连续可导的函数，当x2>x1时，f(x2)<f(x1)。这说明f(x)是单调递减函数｛由拉格朗日中值定理 ，f(x2)-f(x1)=f '(ξ)*(x2-x1),由于x2和x1的任意性且x2>x1，因此ξ也就具有任意 ...

请层主再补充一下非单调的内容。
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20楼2015-03-31 08:22:49
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