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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 求助，函数不等式证明
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hubery.zhu

金虫 (正式写手)

[求助] 求助，函数不等式证明已有9人参与

求助，遇到这样一道函数不等式证明，哪位数学大神能够给出证明

已知，是一个连续可导的函数，.
证明：一定存在,使得时 有

[ Last edited by feixiaolin on 2015-3-29 at 22:51 ]
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耐得住寂寞，抵的住诱惑，拥得了繁华!
1楼2015-03-29 17:39:35
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这是显然的了。
因为f(x)是一个连续可导的函数，当x2>x1时，f(x2)<f(x1)。这说明f(x)是单调递减函数｛由拉格朗日中值定理 ，f(x2)-f(x1)=f '(ξ)*(x2-x1),由于x2和x1的任意性且x2>x1，因此ξ也就具有任意性，故而可知对于任意的x均有：f ‘(x)<0｝
因此，对于任意x，只要满足关系：x1<x<x2，必有f(x1)>f(x)>f(x2) 。从而问题得证。
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9楼2015-03-29 21:07:23
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
10楼: Originally posted by hubery.zhu at 2015-03-29 21:07:34
非常感谢你的回答，原题有笔误，非常抱歉，完整的题目修改如下：

已知，f(x)是一个连续可导的函数，x_2>x_1\quad f(x_{1}) > f(x_{2}).
证明：一定存在x_{3}\in,使得\forall x\in 时 有 f(x) \geq f(x_{ ...

做一直线连接点(x1,f(x1))和点(x2,f(x2))。则至少存在一点（ξ，f (ξ)），使得 f ‘(ξ与该直线的斜率相同。设η设点（η,f(η))为这些点中最接近点(x2,f(x2))的一点，则：若x∈（η ，x2）则必然有f(η)>f(x2)。
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14楼2015-03-29 21:55:59
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