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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 华师大版数学分析(第三版)第二型曲面积分 部分内容的混涩
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Orlicz

金虫 (小有名气)

[求助] 华师大版数学分析(第三版)第二型曲面积分 部分内容的混涩

华师大版数学分析第三版册P284指出：“通常由$Z=Z(x,y)$所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与$z$轴正向的夹角成锐角的一侧(也称为上侧)为正侧时，则另一侧(也称下侧)为负侧。当$S$为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。”
       在本节的习题1(1)：“计算第二型曲面积分$\displaystyle\iint_S y(x-z)dydz+x^2dzdx+(y^2+xz)dxdy$, 其中$S$为由$x＝y＝z＝0, x=y=z=a$六个平面所围成的立方体表面并取外侧为正向.”
      在该题中, 若取前、后两侧为$\Sigma_1,\Sigma_2$,  则按照题意在$Sigma_2$处的积分应为$\displaystyle\iint_{\Sigma_2}y(0-z)dydz=\int_0^a dy\int_0^a (-yz)dz$, 而不是$\displaystyle\iint_{\Sigma_2}y(0-z)dydz=-\int_0^a dy\int_0^a (-yz)dz$, 即相差一个负号 .但这样该题与本节的大部分题目算得的答案与书后提供的迥异.
       是否本人理解有问题,  望赐教! (不少《数学分析》、《高等数学》教材根本没提封闭曲面的正侧与负侧的概念)
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xuyx_78

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1楼2012-06-09 14:27:02
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fzbmath

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Orlicz: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 照其它版本的教材，应该是这样理解的。就是想不通，为何华师大版的几个版本的都是如此，别具一格，如该题中指明取曲面的外侧不就行了吗 2012-06-09 19:52:37
当$S$为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。------我的理解是这只是一个说法，这儿的正侧负侧不是真正计算时的正侧负侧。反正只要掌握一个计算原则：正负号看题目中给出的曲面的侧与相应轴正向的夹角，计算时锐角取正，反之取负。
楼主不必过分关注他叫什么侧，题目中的侧只是指明曲面的方向，题目中的正未必是计算中的正。
当然一般情况下应该一致，华师大教科书中的表述对初学者确实是个挑战。应该叙述得更加清楚点。个人意见，如果不对，还望多多讨论。
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在寂寞中永生
2楼2012-06-09 19:33:56
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fzbmath

木虫 (正式写手)
如该题中指明取曲面的外侧不就行了吗--------你说得非常正确，深有同感。可能华师大版本就是要标新立意，他们认为“看不懂”是我们的问题，，但对学生来讲还是很有迷惑性的。
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在寂寞中永生
3楼2012-06-09 20:10:41
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jxmath

铁杆木虫 (著名写手)
这个如果和后面的Gauss公式联系起来看，规定外侧为正是合适的。如果想通过定义法计算第二类曲面积分，主要看因变量与所在轴正向的夹角是不是锐角。例如，函数如果是z=z(x,y)，在计算“(y^2+xz)dxdy”时，若与z轴正项夹角为锐角，就去上侧为正，下册为负；同理有前侧，右侧为正；左侧，后侧为负。
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4楼2012-06-09 21:50:38
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xuyx_78

金虫 (小有名气)
送鲜花一朵
第二型曲面积分计算时,积分前是取+号还是取-号,是由方向余弦决定的.在你所说的前侧曲面方向余弦为正,在后侧方向余弦为负.所以计算时后侧的积分前出现了一个负号，而不是直接将变量代到积分去计算.另外,第二型曲面积分中的dxdy,dydz,dzdx是面积微元dS在各个方向的投影,正是因为如此在计算曲面积分时才产生正负号(可以参考陈纪修等编著《数学分析》).关于曲面，常见的是双侧曲面，也有单侧曲面（如莫比乌斯带），而我们所研究的曲面大部分是双侧曲面，双侧曲面上将法方向的正方向选择不同时会影响方向余弦的正负号，所以对其可以人为的规定正负侧。不同的教材对此描述不同，大部分教材一般只提双侧，而不在规定正负侧。
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5楼2012-06-09 22:03:49
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Orlicz

金虫 (小有名气)
衷心感谢各位的回复， 为弄清华师大版教材中曲面正侧、负侧的概念，本人下载了陈纪修等编的《数学分析》（记不得是哪个网页，上下册连同习题解答），准备找陈上课的视频，很遗憾，早期在优酷上还是公开的，现在要收费了。当然还有其它版本的《数学分析》与《高等数学》，均为找到理想答案，但这些教材中对曲面的侧写的非常明确，正如各位的回复。
     如题中说“其中$S$为由$x＝y＝z＝0, x=y=z=a$六个平面所围成的立方体表面并取外侧为正向”，有同学问：那现在的积分到底是在曲面的内侧还是外侧进行。再如后面的Gauss公式，并不是指出“取外侧为正向”，而是直接说“$S$取外侧”，直观明了。或像陈纪修的《数学分析》中写“方向取下侧”，也容易让人理解。同时华师大版在该节中对于曲面由参数方程形式给出时，结论与例题写得都过于简单，对初学者非常不利，个人观点：就算是用小字排版，也要写清楚啊。
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6楼2012-06-09 22:41:59
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人民海军

木虫 (职业作家)
个人感觉复旦的数学分析写的比较严谨，华东师大的确实差点，从数学的角度来说
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Letbygonesbebygones.
7楼2012-06-10 19:57:22
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guanhy8010

新虫 (初入文坛)
4楼正解，正负侧是要人为规定的，计算积分时才能知道曲面投影面积的符号
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8楼2014-09-03 19:15:55
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