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Orlicz金虫 (小有名气)
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华师大版数学分析(第三版)第二型曲面积分 部分内容的混涩
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华师大版数学分析第三版册P284指出：“通常由$Z=Z(x,y)$所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与$z$轴正向的夹角成锐角的一侧(也称为上侧)为正侧时，则另一侧(也称下侧)为负侧。当$S$为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。” 在本节的习题1(1)：“计算第二型曲面积分$\displaystyle\iint_S y(x-z)dydz+x^2dzdx+(y^2+xz)dxdy$, 其中$S$为由$x＝y＝z＝0, x=y=z=a$六个平面所围成的立方体表面并取外侧为正向.” 在该题中, 若取前、后两侧为$\Sigma_1,\Sigma_2$, 则按照题意在$Sigma_2$处的积分应为$\displaystyle\iint_{\Sigma_2}y(0-z)dydz=\int_0^a dy\int_0^a (-yz)dz$, 而不是$\displaystyle\iint_{\Sigma_2}y(0-z)dydz=-\int_0^a dy\int_0^a (-yz)dz$, 即相差一个负号 .但这样该题与本节的大部分题目算得的答案与书后提供的迥异. 是否本人理解有问题, 望赐教! (不少《数学分析》、《高等数学》教材根本没提封闭曲面的正侧与负侧的概念) |
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fzbmath
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【答案】应助回帖
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Orlicz: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 照其它版本的教材，应该是这样理解的。就是想不通，为何华师大版的几个版本的都是如此，别具一格，如该题中指明取曲面的外侧不就行了吗 2012-06-09 19:52:37
感谢参与，应助指数 +1
Orlicz: 金币+20, ★★★★★最佳答案, 照其它版本的教材，应该是这样理解的。就是想不通，为何华师大版的几个版本的都是如此，别具一格，如该题中指明取曲面的外侧不就行了吗 2012-06-09 19:52:37
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当$S$为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。------我的理解是这只是一个说法，这儿的正侧负侧不是真正计算时的正侧负侧。反正只要掌握一个计算原则：正负号看题目中给出的曲面的侧与相应轴正向的夹角，计算时锐角取正，反之取负。 楼主不必过分关注他叫什么侧，题目中的侧只是指明曲面的方向，题目中的正未必是计算中的正。 当然一般情况下应该一致，华师大教科书中的表述对初学者确实是个挑战。应该叙述得更加清楚点。个人意见，如果不对，还望多多讨论。  |
2楼2012-06-09 19:33:56
fzbmath
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，但对学生来讲还是很有迷惑性的。 3楼2012-06-09 20:10:41
4楼2012-06-09 21:50:38
xuyx_78
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送鲜花一朵 | 第二型曲面积分计算时,积分前是取+号还是取-号,是由方向余弦决定的.在你所说的前侧曲面方向余弦为正,在后侧方向余弦为负.所以计算时后侧的积分前出现了一个负号，而不是直接将变量代到积分去计算.另外,第二型曲面积分中的dxdy,dydz,dzdx是面积微元dS在各个方向的投影,正是因为如此在计算曲面积分时才产生正负号(可以参考陈纪修等编著《数学分析》).关于曲面，常见的是双侧曲面，也有单侧曲面（如莫比乌斯带），而我们所研究的曲面大部分是双侧曲面，双侧曲面上将法方向的正方向选择不同时会影响方向余弦的正负号，所以对其可以人为的规定正负侧。不同的教材对此描述不同，大部分教材一般只提双侧，而不在规定正负侧。 |
5楼2012-06-09 22:03:49
Orlicz
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衷心感谢各位的回复， 为弄清华师大版教材中曲面正侧、负侧的概念，本人下载了陈纪修等编的《数学分析》（记不得是哪个网页，上下册连同习题解答），准备找陈上课的视频，很遗憾，早期在优酷上还是公开的，现在要收费了。当然还有其它版本的《数学分析》与《高等数学》，均为找到理想答案，但这些教材中对曲面的侧写的非常明确，正如各位的回复。 如题中说“其中$S$为由$x＝y＝z＝0, x=y=z=a$六个平面所围成的立方体表面并取外侧为正向”，有同学问：那现在的积分到底是在曲面的内侧还是外侧进行。再如后面的Gauss公式，并不是指出“取外侧为正向”，而是直接说“$S$取外侧”，直观明了。或像陈纪修的《数学分析》中写“方向取下侧”，也容易让人理解。同时华师大版在该节中对于曲面由参数方程形式给出时，结论与例题写得都过于简单，对初学者非常不利，个人观点：就算是用小字排版，也要写清楚啊。 |
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