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SelfFighter

铁虫 (初入文坛)

[求助] 请教如何证明这个不等式？

希望能看到详细的过程
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1楼 2011-07-19 07:56:46
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫

【答案】应助回帖

SelfFighter(金币+1): 讲解详细，很感谢！希望以后多指教 2011-07-19 10:53:38
要点：这个被积函数显然是偶函数，所以你只需要考虑区间为[0,Inf)

将[0,Inf)分成2段，[0,a](这里a大于1即可)和[a,Inf)。
在[0,a]上积分是个有限的，后面的积分放大,被积函数放大为x*exp(-x)，收敛性是显然的（分部积分就行），从而证明完毕
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板凳要做十年冷文章不发一个字
2楼2011-07-19 09:29:33
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SelfFighter

铁虫 (初入文坛)
对于第一段积分，我是用积分中值定理判断为有界的。不知道你是怎么判断的，一般有几种判断方法
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3楼2011-07-19 10:55:50
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫
★
小雨萌萌(金币+1): 3Q 2011-07-19 15:13:28
引用回帖:
Originally posted by SelfFighter at 2011-07-19 10:55:50:
对于第一段积分，我是用积分中值定理判断为有界的。不知道你是怎么判断的，一般有几种判断方法

连续函数在闭区间上的积分当然是有界的。证明方法---设被积函数取最大值F_max，则积分I<=F_max*区间长度
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板凳要做十年冷文章不发一个字
4楼2011-07-19 14:32:16
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inhaul

新虫 (正式写手)
★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-07-19 20:33:30
see
gamma function z=3/2
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

laplace transform for sqrt(x) when s=1
http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

积分结果是sqrt(Pi)<+∞
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5楼2011-07-19 15:57:51
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SelfFighter

铁虫 (初入文坛)
bluesine功底扎实，佩服！按照您的方法果然可以证明。
inhaul数学视野开阔，让我受益很多：复习了gamma函数，联想到拉氏变换。不过，对于利用拉氏变换的现成结果来说明该积分的收敛性，我还是有保留意见的。因为t^n的拉氏变换之所以有公式是因为n为正整数，这里n为0.5，在不断使用分部积分法的时候，始终不能让t的指数为0，得不到封闭的表达式，收敛性无从判断。
各抒己见，欢迎讨论。
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6楼2011-07-20 14:50:39
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