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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 强极值原理的证明过程求教
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匿名

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1楼 2014-11-02 15:58:22
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匿名

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2楼2014-11-02 16:01:29
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3楼2014-11-04 11:06:02
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
看到一些网上其他数理方程的书，关于这个的证明见图示：
第一个图它只要求2R<d即可。
第二个是另外的证明方法。
所以楼主的疑惑真的很难解决。
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4楼2014-11-06 01:07:34
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

如果是平面的情形，见下图的证明（应该有处印刷的错误，应该把B(z_i,sita)改为B(z_i,r)

虽然只是2维的，但这里的证明只是要求R<d(此图用sita代替d)
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5楼2014-11-06 01:40:58
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
一级深山老妖: 金币+40, ★★★★★最佳答案 2014-11-06 06:40:33
所以我个人观点，取R<d就可以了。
或者用3.png的证明方法，应该更加严谨，贴近点集拓扑的知识（毕竟这里涉及到区域这个概念，这个是连通开集）。
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PreferenceforMathematics
6楼2014-11-06 01:43:12
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匿名

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7楼2014-11-06 06:40:22
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
引用回帖:
7楼: Originally posted by 一级深山老妖 at 2014-11-06 06:40:22
对！R<d就够了。...

个人观点：数学物理方程的课程设置对于理工科跟数学系的难度应该不一，一般工科可能大二就开始学这门课，掌握这个方法，在证明上可能没有那么严谨，毕竟涉及的数学概念多，比如点集拓扑的区域概念，本征值函数展开的存在性等等。一般数学系是不学特殊函数这个部分，反而是工科的同学很熟悉那些勒让德，贝塞尔函数的，楼主。
    我上面的3.PNG是引用中科大版本的《偏微分方程》教材。这是一般为数学系的专业课，高年级本科生或者研究生才开始学的，要求有实变，泛函的基础才能看得下去。
    最后关于这道极值原理，我还是最支持用3.PNG的方法，可能非数学系的看起来会比较辛苦，可是为了严密性，觉得这样是最好的，还有类似其他的书都是用这样的证明方法。
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PreferenceforMathematics
8楼2014-11-06 11:07:24
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粟米麻鞋

银虫 (初入文坛)
我讲一下吧，用有限覆盖定理只能说可以被有限个小球覆盖，我们还能保证这些小球是一个接着一个的，但是呢，我们却不能保证后面的球心跑进前面一个球里面的，但是如果有了R<d/4，你就可以在两个球相交的部分添一个球，半径也是R，总之添的个数也是有限的，so，可以用之前的证明了（因为那里是要求所有的点在球心附近的），我可以告诉你，这个d/4也不是最优的，但其实这不是本质。
      本质是：设能E为在区域中取到最大值的点集，由u的连续性知道E是相对闭集，题目中证明了它是开集。从而它或者是空集或者是全集。
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9楼2014-11-09 10:57:08
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
引用回帖:
9楼: Originally posted by 粟米麻鞋 at 2014-11-09 10:57:08
我讲一下吧，用有限覆盖定理只能说可以被有限个小球覆盖，我们还能保证这些小球是一个接着一个的，但是呢，我们却不能保证后面的球心跑进前面一个球里面的，但是如果有了R<d/4，你就可以在两个球相交的部分添一个 ...

也就是说，楼上最支持3.png这种证明方法咯？
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10楼2014-11-09 11:24:36
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