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[求助]
求助，比较线性方程解空间的大小
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令Ω1={x|W1x1+W2x2+...WNxN>b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω2={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω3={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, 其中a>0,b>0，亦即N维向量x限制在超立方体内，Ω1，Ω2，Ω3分别表示在超立方体中位于三个不同的超平面上面的那部分空间， 证明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，其中|Ω|表示空间Ω的大小。 |
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5楼2013-08-06 14:13:01
【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
| 有点意思，我有一个思路，不妨设向量（W1，W2，... ，WN）是单位向量，将空间做一个正交旋转（肯定存在，一望便知），把（W1，W2，... ，WN）变为（0，0，...，1）也就是y_N轴的方向向量。如此一来将那三个不等式中左边W1x1+W2x2+...WNxN这一堆难看的东西就化成了 y_N，于是三个区域就分别成为了 y_N > b-a , y_N > -b-a 和 y_N > -a，当然这个时候相应的约束条件|xi|<=1也要改写成关于y的约束，而且肯定不像原来那么好看了，这是可以理解的，在方程上占了便宜肯定要还回去，不可能便宜占尽。但是注意到我们做的是正交变换，所以单位正方体还是变为了单位正方体，也就是说并没有拉伸和压缩，没有变形，这个很关键。虽然约束条件变难看了，但这样做的好处就是三个区域的几何意义一目了然，区域1代表方体位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，区域2代表方体位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而区域3代表方体位于超平面y_N = -a 上方的那一部分。然后利用正方体的对称性，你画个图就发现不等式成立是显然的事情了。另外，你还可以发现如果允许a=0，那么不等式将变成等式。 |
2楼2013-08-06 05:42:33
3楼2013-08-06 09:30:03
4楼2013-08-06 13:33:37