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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助，比较线性方程解空间的大小
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seu_adonis

新虫 (初入文坛)

[求助] 求助，比较线性方程解空间的大小

令Ω1={x|W1x1+W2x2+...WNxN>b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N},
   Ω2={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N},
   Ω3={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N},
其中a>0,b>0，亦即N维向量x限制在超立方体内，Ω1，Ω2，Ω3分别表示在超立方体中位于三个不同的超平面上面的那部分空间，
证明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，其中|Ω|表示空间Ω的大小。
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1楼2013-08-05 23:27:19
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
有点意思，我有一个思路，不妨设向量（W1，W2，... ，WN）是单位向量，将空间做一个正交旋转（肯定存在，一望便知），把（W1，W2，... ，WN）变为（0，0，...，1）也就是y_N轴的方向向量。如此一来将那三个不等式中左边W1x1+W2x2+...WNxN这一堆难看的东西就化成了 y_N，于是三个区域就分别成为了 y_N > b-a , y_N > -b-a 和 y_N > -a，当然这个时候相应的约束条件|xi|<=1也要改写成关于y的约束，而且肯定不像原来那么好看了，这是可以理解的，在方程上占了便宜肯定要还回去，不可能便宜占尽。但是注意到我们做的是正交变换，所以单位正方体还是变为了单位正方体，也就是说并没有拉伸和压缩，没有变形，这个很关键。虽然约束条件变难看了，但这样做的好处就是三个区域的几何意义一目了然，区域1代表方体位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，区域2代表方体位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而区域3代表方体位于超平面y_N = -a 上方的那一部分。然后利用正方体的对称性，你画个图就发现不等式成立是显然的事情了。另外，你还可以发现如果允许a=0，那么不等式将变成等式。
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2楼2013-08-06 05:42:33
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seu_adonis

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by weft at 2013-08-06 05:42:33
有点意思，我有一个思路，不妨设向量（W1，W2，... ，WN）是单位向量，将空间做一个正交旋转（肯定存在，一望便知），把（W1，W2，... ，WN）变为（0，0，...，1）也就是y_N轴的方向向量。如此一来将那三个不等式中 ...

谢谢回复和帮助。
“区域1代表方体位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，区域2代表方体位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而区域3代表方体位于超平面y_N = -a 上方的那一部分。”
正交旋转后的确简洁了很多，但是高维情况下不方便用图形来说明这三个区域的关系，其实也知道y_N = -a两边区域体积对于常数值变化的梯度是不一样的，但就是纠结怎么用数学表达式证明出来。
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3楼2013-08-06 09:30:03
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by seu_adonis at 2013-08-06 09:30:03
谢谢回复和帮助。
“区域1代表方体位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，区域2代表方体位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而区域3代表方体位于超平面y_N = -a 上方的那一部分。”
正交旋转后的确简洁了很多， ...

不解为什么跟梯度扯上了关系？
我不知道你想要一个怎样的数学表达式的证明。其实现在可以看到“在y_N = b-a 上方的那一部分”与“y_N = -b-a 上方的那一部分”的体积之和就是整个立方体的体积，因为实际上二者可以拼接为一个完整的立方体，所以你只需要证明在y_N = b-a 上方的那一部分恰好就是y_N = -b-a 下方（注意是下方）的那一部分，而这件事情可以利用立方体的对称性通过一个正交旋转来证明，也就是证明二者是全等的。
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4楼2013-08-06 13:33:37
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seu_adonis

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by weft at 2013-08-06 13:33:37
不解为什么跟梯度扯上了关系？
我不知道你想要一个怎样的数学表达式的证明。其实现在可以看到“在y_N = b-a 上方的那一部分”与“y_N = -b-a 上方的那一部分”的体积之和就是整个立方体的体积，因为实际上二者可以 ...

那假设（W1，W2，... ，WN）刚好就是（0，0，...，1），连旋转都省了，另外a=b=0.1,你的意思是说"y_N = 0上方的那一部分"和"y_N = -0.2上方的那一部分"的体积之和就是1？
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5楼2013-08-06 14:13:01
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
seu_adonis: 金币+18, ★★★很有帮助 2013-08-08 09:51:05
楼主和Weft的讨论从几何, 梯度方向讨论的很深刻了,我从表达式方面画蛇添足一下.

首先, 符号说明.  w=(w1, w2,..., wN) 是个固定向量 (不需要假设分量wi>0).  
超立方体{(x1,...,xN) | |xi|<=1} 记为C,  记向量内积为w. x   .  那么Ω1 ={ x in C| w.x > b-a}, 另外两个分别为w.x  >  -b-a  和  w.x > -a. 显然Ω1 包含于Ω3包含于Ω2中.   

另外, 记P(k) ={ y in C| w.y =k}.  那么 P(b-a) 平面夹在 P(-b-a) 和 P(b+a)之间. 我们先来看一个引理:
引理: P(b-a) 的面积 大于等于 P(-b-a)=P(b+a), 对于任意使得P(a+b)>0的a>0, b>0.
证明: 只不过重复楼主关于梯度的思路,只是表达方式不同.
不妨设P(b-a), P(b+a) 都在P(0) 的同一侧, 即 (b>a).
显然P(b+a)是凸形, 任意取一个极值点y0 (Extreme point). 则两个集合{ 1/2 * (y-y0) : y \in P(a+b)}
和{ 1/2 * (y0 -y) : y \in P(a+b) } 只相交于原点, 也就是y=y0的时候. 同时, 这两个集合都还在C内,因为C是关于原点中心对称的凸集. 那么, 我们看出如下两个集合
(加权平均得到)
{ (b-a)/(b+a)*y + 2a/(b+a)* 1/2 * (y-y0) : y \in P(a+b) } 和{ (b-a)/(b+a)*y0 + 2a/(b+a)* 1/2 * (y0-y) : y \in P(a+b) } 是 (1) 只相交于一点;  (2) 在C内; (3)属于P(b-a).
由于这两个P(b-a)的子集都只是P(a+b)的线性变换, 面积也是乘以一个线性因子,所以
P(b-a) >= b/(b+a)* P(a+b) + a/(b+a)* P(a+b) = P(a+b). 引理得证.

现在回到原题.  要证明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，只需要证明 | Ω3 - Ω1| > | Ω2 - Ω3| 即可.  |Ω|(表示空间Ω的大小)可以由积分给出, 其中, 积分元为w方向的一维直线dx, 从零到b, 积分函数分别为P(x-a) (对于Ω3 - Ω1) 和P(-x-a)(对于Ω2 - Ω3)的面积.  引理告诉我们P(-x-a) <= P(x-a), 那自然积分就| Ω2 - Ω3|<=| Ω3 - Ω1| 了.

还有, 我很抱歉,只能证明 小于等于, 还不是楼主要求的严格小于号.
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We_must_know. We_will_know.
6楼2013-08-08 01:23:35
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seu_adonis

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2013-08-08 01:23:35
楼主和Weft的讨论从几何, 梯度方向讨论的很深刻了,我从表达式方面画蛇添足一下.

首先, 符号说明.  w=(w1, w2,..., wN) 是个固定向量 (不需要假设分量wi>0).  
超立方体{(x1,...,xN) | |xi|<=1} 记为C,  记 ...

是小于等于，发完贴发现漏了，也就没改了。
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7楼2013-08-08 09:52:34
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