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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » m＊n矩阵A的秩为r,为什么n元齐次线性方程组Ax＝0的解集的秩为n-r
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噼里啪啦pia

铜虫 (小有名气)

[求助] m＊n矩阵A的秩为r,为什么n元齐次线性方程组Ax＝0的解集的秩为n-r

m＊n矩阵A的秩为r,为什么n元齐次线性方程组Ax＝0的解集的秩为n-r？求日解释
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1楼 2012-05-23 16:25:27
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
从一个方面简单说明，不知道楼主能否看明白：
设A=[A1,A2,...An],其中Ai是矩阵A中的第i列列向量
因为A的秩是r，向量组A1,A2,...An的极大线性无关组的向量个数是r，即
A1,A2,...An中有r个向量是线性无关的，而任意r+1个以上的向量是线性相关的，为了说明方便，不妨设A1，..Ar是A1,A2,...An中的极大线性无关组，
所以向量Ar+1可以被A1，..Ar线性表示，其表示的系数就是Ax=0的一个解（补齐0），
向量Ar+2也可以被A1，..Ar线性表示，其表示的系数就是Ax=0的一个解（补齐0），
...
向量An也可以被A1，..Ar线性表示，其表示的系数就是Ax=0的一个解（补齐0），
这些解正好n-r
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2楼2012-05-23 17:18:38
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

再从另一个方面也说明一下;
设A=[A1,A2,...An],其中Ai是矩阵A中的第i列列向量,且Ai是n欧氏空间R^n中的元素，因为A的秩是r，所以由向量A1,A2,...An张成的子空间
W=span{A1,A2,...,An}是r维的，
而方程Ax=0的解对应的向量x就是与子空间W垂直的向量，即解向量x构成子空间W的正交补，正交补的维数是n-r
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3楼2012-05-23 17:24:14
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噼里啪啦pia

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by math2000 at 2012-05-23 17:24:14:
再从另一个方面也说明一下;
设A=,其中Ai是矩阵A中的第i列列向量,且Ai是n欧氏空间R^n中的元素，因为A的秩是r，所以由向量A1,A2,...An张成的子空间
W=span{A1,A2,...,An}是r维的，
而方程Ax=0的解对应的向量x就是与

这个没学过。。。。额
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4楼2012-05-23 17:51:26
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噼里啪啦pia

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by math2000 at 2012-05-23 17:18:38:
从一个方面简单说明，不知道楼主能否看明白：
设A=,其中Ai是矩阵A中的第i列列向量
因为A的秩是r，向量组A1,A2,...An的极大线性无关组的向量个数是r，即
A1,A2,...An中有r个向量是线性无关的，而任意r+1个以上的向

为什么是Ax＝0的解，而不是Ax＝Ai（i＝r+1,r+2...）的解
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5楼2012-05-23 17:57:06
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 噼里啪啦pia at 2012-05-23 17:57:06:
为什么是Ax＝0的解，而不是Ax＝Ai（i＝r+1,r+2...）的解

假设Ai能被A1，A2，..，Ar线性表示，即存在不全为0的数x1，x2，...，xr，使得
Ai = x1*A1+x2*A2+...+xr*Ar
对应的向量x=[x1,x2,...，xr，0，..0,1,0，..0]不就是方程Ax=0的解吗？
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6楼2012-05-24 11:44:55
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zhangjob

捐助贵宾 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
从空间的基的角度理解应该更容易，，不过是很抽象的东西，，当面讲解更清楚
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以前不懂，看贴总是不回，一直没赚到金币，也没成为泰斗精英；现在我明白了，回贴赚金币，不回白不回，回了也白回，于是，我就把这句话复制下来，遇贴就回，捞经
7楼2012-05-25 01:02:55
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人民海军

木虫 (职业作家)
引用回帖:
7楼: Originally posted by zhangjob at 2012-05-25 01:02:55
从空间的基的角度理解应该更容易，，不过是很抽象的东西，，当面讲解更清楚

正交？
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Letbygonesbebygones.
8楼2012-06-17 16:48:48
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