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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 若已知上三角矩阵U和下三角矩阵L满足 L‘*L = U’*U，如何有效的通过L求U
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aixilin

新虫 (小有名气)

[求助] 若已知上三角矩阵U和下三角矩阵L满足 L‘*L = U’*U，如何有效的通过L求U

如题，若已知上三角矩阵U和下三角矩阵L满足 L‘*L = U’*U，如何有效的通过L求出U？

P.S. 我已经知道可以通过MATLAB中的QR分解来计算：U=QR（L），但是QR分解针对的一般矩阵，所以计算复杂度是O（N^3）,这里N 是矩阵L的维数。由于L是三角矩阵，我在想是否存在一种更快速的计算方法，比如复杂度为O（N^2）的解决方法。

数学知识有限，敬请大家帮忙给点建议。。谢谢！
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1楼2011-07-12 02:22:57
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

L'是什么？是L的转置还是另外一个下三角矩阵？还有u‘呢？
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2楼2011-07-12 03:43:02
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aixilin

新虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by sskkyy at 2011-07-12 03:43:02:
L'是什么？是L的转置还是另外一个下三角矩阵？还有u‘呢？

L'㎝U'常琌锣竚痻皚
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3楼2011-07-12 06:50:23
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aixilin

新虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by sskkyy at 2011-07-12 03:43:02:
L'是什么？是L的转置还是另外一个下三角矩阵？还有u‘呢？

L'琌L锣竚. U'琌U锣竚.
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4楼2011-07-12 06:55:04
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aixilin

新虫 (小有名气)
小雨萌萌: 在火星？表弄火星文啊~ 2011-07-12 08:53:09
L'琌L锣竚. U'琌U锣竚.
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5楼2011-07-12 07:01:21
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aixilin

新虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by sskkyy at 2011-07-12 03:43:02:
L'是什么？是L的转置还是另外一个下三角矩阵？还有u‘呢？

L'是L的转置, U'是U的转置
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6楼2011-07-12 07:05:28
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~ 2011-07-12 21:43:22
可不可以这样考虑：两边同时乘以L'的逆，得到L=(L')^-1 U' U. 注意L和U‘都是下三角矩阵，从U’的最后一行开始考虑。假设他们都是n乘以n的矩阵。如果你把这些三角矩阵写出来，你会发现L和U'的(n,1)-th 元素是一样的，接着考虑(n,2)-th 元素，有个简单的关系，然后递归就可以考虑任意（n,i)-th 元素，再考虑n-1行......
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7楼2011-07-12 13:42:28
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

注意到L'和U都是上三角，你就可以考虑L=(L')^-1 U' U的两边，开始比较对应元素，从第n行开始。
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8楼2011-07-12 13:45:07
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aixilin

新虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by sskkyy at 2011-07-12 13:42:28:
可不可以这样考虑：两边同时乘以L'的逆，得到L=(L')^-1 U' U. 注意L和U‘都是下三角矩阵，从U’的最后一行开始考虑。假设他们都是n乘以n的矩阵。如果你把这些三角矩阵写出来，你会发现L和U'的(n,1)-th 元素是一样 ...

很感谢你的回答，为了说明问题，我用2*2 矩阵简单测试下您的方法：

L = [a1, 0; c1,d1];
U = [a2, b2; 0, d2];

D = (L')^-1 = [a3, b3; 0 ,d3]
L = (L')^-1*U'*U
  =  [a3, b3; 0 ,d3]*[a2, 0; b2, d2]*[a2, b2; 0, d2]
  = [a3, b3; 0, d3] * [a2^2, a2*b2; b2*a2, b2^2+d2^2 ]
  = [a3*a2^2+b3*b2*a2, a3*a2*b2+b3*(b2^2+d2^2); d3*b2*a2, d3*(b2^2+d2^2)]

在这里等号左侧L的（n,1）-th元素是c1,而右侧为d3*b2*a2，很明显他们不一样！
L和U'的(n,1)-th 元素是一样的如何得到的？
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9楼2011-07-12 17:38:12
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

aixilin(金币+3): 谢谢你的回复和帮助 2011-07-14 16:57:47
不好意思，我误解了你的“上三角矩阵”的意思。我还以为你说的是严格上三角呢，也就对角线上全是1. 你只需要乘以一个对角矩阵把一般的上下角变成严格上三角就行。也就是一个上三角总是一个对角矩阵和严格上三角的乘积。下三角是类似的。对角矩阵的乘法是很简单的，我相信你应该能够自己搞定。
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10楼2011-07-13 01:43:17
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