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【求助】矩阵导数【已解决】 已有12人参与
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请问有人研究过矩阵求导问题吗？现在遇到一个矩阵导数不知如何解决： F(X)=X-1aaT X-1，其中X是矩阵，a是列向量，(-1)表示矩阵的逆，T为矩阵转置，要F(X)对矩阵X求导。(矩阵对矩阵求导) 看了一些资料，发现矩阵求导有不同的定义方式，有常规的定义为分别对矩阵的每个元素求导平铺生成超级矩阵，如http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=1450822中所讨论的。然而，根据Magnus的讨论，这种常规的定义方法没有意义，主张把矩阵先按列排成一个列向量，然后类似Jacobian对向量进行求导（详见http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Matrix_calculus上的讨论）。不知如何是好！ [ Last edited by cyq101600 on 2010-6-12 at 16:29 ] |
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2楼2010-06-08 08:48:51
3楼2010-06-08 09:42:39
onesupeng
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cyq101600(金币+1):谢谢参与
小雨萌萌:呵呵，和本贴中给出的链接资源大部分重复了。谢谢分享 2010-06-08 10:02:59
cyq101600(金币+1):谢谢参与
小雨萌萌:呵呵，和本贴中给出的链接资源大部分重复了。谢谢分享 2010-06-08 10:02:59
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转载一个，共同学习。很久前看得矩阵运算忘记光了，身边又没有书 1. 矩阵Y对标量x求导： 相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了 Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx] 2. 标量y对列向量X求导： 注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量 y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)' 3. 行向量Y'对列向量X求导： 注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。 将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。 重要结论： dX'/dX = I d(AX)'/dX = A' 4. 列向量Y对行向量X’求导： 转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。 注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。 dY/dX' = (dY'/dX)' 5. 向量积对列向量X求导运算法则： 注意与标量求导有点不同。 d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX) d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U' 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X 6. 矩阵Y对列向量X求导： 将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。 注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。 7. 矩阵积对列向量求导法则： d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX) d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX) 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A 8. 标量y对矩阵X的导数： 类似标量y对列向量X的导数， 把y对每个X的元素求偏导，不用转置。 dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ] 重要结论： y = U'XV = ∑∑u(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV' y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU' y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U' 9. 矩阵Y对矩阵X的导数： 将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。 |
4楼2010-06-08 09:53:31
| 矩阵求导很多地方有可能会遇到，给大家提供一个链接，https://ccrma.stanford.edu/~dattorro/matrixcalc.pdf 这里面的附录（Table）总结了各种求导的公式。但是要提醒的是，这里的求导都是按照平铺矩阵块这种思路的，有可能遇到乘法法则不成立的问题，这也是本贴求助的问题。另一种就是Magnus的定义，向量算法。但是不知道该用哪种定义算法。 |
5楼2010-06-08 11:11:11
Pchief
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cyq101600(金币+1):谢谢参与
cyq101600(金币+1): 2010-06-08 17:12:20
javeey(金币+2):谢谢参与讨论 2010-06-08 19:38:20
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cyq101600(金币+1): 2010-06-08 17:12:20
javeey(金币+2):谢谢参与讨论 2010-06-08 19:38:20
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这个例子是个普通的单值函数，处理起来倒不是很麻烦。我算了个2×2的例子，Kronecker积构造的导数结果是一致的。不过我觉得用这个做定义就太不直观了，单纯用于计算可能还行。 Fréchet导数拿来定义看起来比较靠谱，不过里面的A是否要直接构造一个3维的矩阵呢？ 还有个想法，就是如果关于矩阵的函数也是矩阵作为函数值的，直接用函数对矩阵元素的偏导数构造导数，类似于从向量值函数导出Jacobian矩阵。问题在于得到的可能就是个三维的矩阵，验证运算法则就是很费劲的事情了。 只能说这个导数太BT了。 |
9楼2010-06-08 16:15:38
10楼2010-06-08 17:14:20
