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aixilin

新虫 (小有名气)

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[求助] 若已知上三角矩阵U和下三角矩阵L满足 L‘L = U’U，如何有效的通过L求U

如题，若已知上三角矩阵U和下三角矩阵L满足 L‘*L = U’*U，如何有效的通过L求出U？

P.S. 我已经知道可以通过MATLAB中的QR分解来计算：U=QR（L），但是QR分解针对的一般矩阵，所以计算复杂度是O（N^3）,这里N 是矩阵L的维数。由于L是三角矩阵，我在想是否存在一种更快速的计算方法，比如复杂度为O（N^2）的解决方法。

数学知识有限，敬请大家帮忙给点建议。。谢谢！

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1楼 2011-07-12 02:22:57

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aixilin

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引用回帖:

Originally posted by sskkyy at 2011-07-12 13:42:28:
可不可以这样考虑：两边同时乘以L'的逆，得到L=(L')^-1 U' U. 注意L和U‘都是下三角矩阵，从U’的最后一行开始考虑。假设他们都是n乘以n的矩阵。如果你把这些三角矩阵写出来，你会发现L和U'的(n,1)-th 元素是一样 ...

很感谢你的回答，为了说明问题，我用2*2 矩阵简单测试下您的方法：

L = [a1, 0; c1,d1];
U = [a2, b2; 0, d2];

D = (L')^-1 = [a3, b3; 0 ,d3]
L = (L')^-1*U'*U
  =  [a3, b3; 0 ,d3]*[a2, 0; b2, d2]*[a2, b2; 0, d2]
  = [a3, b3; 0, d3] * [a2^2, a2*b2; b2*a2, b2^2+d2^2 ]
  = [a3*a2^2+b3*b2*a2, a3*a2*b2+b3*(b2^2+d2^2); d3*b2*a2, d3*(b2^2+d2^2)]

在这里等号左侧L的（n,1）-th元素是c1,而右侧为d3*b2*a2，很明显他们不一样！
L和U'的(n,1)-th 元素是一样的如何得到的？