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噼里啪啦pia

铜虫 (小有名气)

[求助] m*n矩阵A的秩为r,为什么n元齐次线性方程组Ax=0的解集的秩为n-r

m*n矩阵A的秩为r,为什么n元齐次线性方程组Ax=0的解集的秩为n-r?求日解释
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
从一个方面简单说明,不知道楼主能否看明白:
设A=[A1,A2,...An],其中Ai是矩阵A中的第i列列向量
因为A的秩是r,向量组A1,A2,...An的极大线性无关组的向量个数是r,即
A1,A2,...An中有r个向量是线性无关的,而任意r+1个以上的向量是线性相关的,为了说明方便,不妨设A1,..Ar是A1,A2,...An中的极大线性无关组,
所以向量Ar+1可以被A1,..Ar线性表示,其表示的系数就是Ax=0的一个解(补齐0),
向量Ar+2也可以被A1,..Ar线性表示,其表示的系数就是Ax=0的一个解(补齐0),
...
向量An也可以被A1,..Ar线性表示,其表示的系数就是Ax=0的一个解(补齐0),
这些解正好n-r
2楼2012-05-23 17:18:38
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

再从另一个方面也说明一下;
设A=[A1,A2,...An],其中Ai是矩阵A中的第i列列向量,且Ai是n欧氏空间R^n中的元素,因为A的秩是r,所以由向量A1,A2,...An张成的子空间
W=span{A1,A2,...,An}是r维的,
而方程Ax=0的解对应的向量x就是与子空间W垂直的向量,即解向量x构成子空间W的正交补,正交补的维数是n-r
3楼2012-05-23 17:24:14
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噼里啪啦pia

铜虫 (小有名气)

引用回帖:
3楼: Originally posted by math2000 at 2012-05-23 17:24:14:
再从另一个方面也说明一下;
设A=,其中Ai是矩阵A中的第i列列向量,且Ai是n欧氏空间R^n中的元素,因为A的秩是r,所以由向量A1,A2,...An张成的子空间
W=span{A1,A2,...,An}是r维的,
而方程Ax=0的解对应的向量x就是与

这个没学过。。。。额
4楼2012-05-23 17:51:26
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噼里啪啦pia

铜虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by math2000 at 2012-05-23 17:18:38:
从一个方面简单说明,不知道楼主能否看明白:
设A=,其中Ai是矩阵A中的第i列列向量
因为A的秩是r,向量组A1,A2,...An的极大线性无关组的向量个数是r,即
A1,A2,...An中有r个向量是线性无关的,而任意r+1个以上的向

为什么是Ax=0的解,而不是Ax=Ai(i=r+1,r+2...)的解
5楼2012-05-23 17:57:06
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

引用回帖:
5楼: Originally posted by 噼里啪啦pia at 2012-05-23 17:57:06:
为什么是Ax=0的解,而不是Ax=Ai(i=r+1,r+2...)的解

假设Ai能被A1,A2,..,Ar线性表示,即存在不全为0的数x1,x2,...,xr,使得
Ai = x1*A1+x2*A2+...+xr*Ar
对应的向量x=[x1,x2,...,xr,0,..0,1,0,..0]不就是方程Ax=0的解吗?
6楼2012-05-24 11:44:55
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zhangjob

捐助贵宾 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
从空间的基的角度理解应该更容易,,不过是很抽象的东西,,当面讲解更清楚
以前不懂,看贴总是不回,一直没赚到金币,也没成为泰斗精英;现在我明白了,回贴赚金币,不回白不回,回了也白回,于是,我就把这句话复制下来,遇贴就回,捞经
7楼2012-05-25 01:02:55
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人民海军

木虫 (职业作家)

引用回帖:
7楼: Originally posted by zhangjob at 2012-05-25 01:02:55
从空间的基的角度理解应该更容易,,不过是很抽象的东西,,当面讲解更清楚

正交?
Letbygonesbebygones.
8楼2012-06-17 16:48:48
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