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【求助】偏微分方程的基本解 已有4人参与
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偏微分方程（组）的基本解是要满足与任一初值做卷积均构成方程的解吗？还是某几个就可以？ [ Last edited by javeey on 2010-5-12 at 15:12 ] |
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小雨萌萌(金币+3):谢谢专家提供解答，辛苦了 2010-05-13 10:59:19
zslfw5222(金币+2):非常感谢 2010-05-14 15:22:30
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我谈一点线性方程的解法 实际上，我们知道，方程如热传导方程等，它有源项，初始条件，边界条件等。对于一般情形，很难用直接解法或者分立变量的方法进行求解。但由于是线性方程，叠加办法仍然适用。所谓基本解法，就是场中有一个点源，或者初始场的一点，或者边界条件的一个阶跃变化等的方程的解。距离例子简单说明一下： \partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=f(x) T(0,x)=g(x) T(t,0)=b1(t) T(t,L)=b2(t) 可以分解成几个基本解： \partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=\delta(x) T(0,x)=0 T(t,0)=0 T(t,L)=0 \partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=0 T(0,x)=\delta(x) T(t,0)=0 T(t,L)=0 \partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=0 T(0,x)=0 T(t,0)=\delta(t) T(t,L)=0 \partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=0 T(0,x)=0 T(t,0)=0 T(t,L)=\delta(t) 当知道第一个的解，即可叠加得 \partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=f（x） T(0,x)=0 T(t,0)=0 T(t,L)=0 以此类推。对于上述分解的第一，第二种，在数理方程里面经常讲到。而后面边界条件的这种，在振动力学里面略加改进，就是杜哈梅积分，用来求解任意激励下的相应问题。后来我发现，杜哈梅积分也可略加改进，用来求接Stoke问题，边界条件随时间任意变化的问题。积分，级数，傅立叶变换，拉普拉斯变换等，都是一种叠加的思想，充分利用在线性方程的求解里面，很多时候能够有意想不到的效果。 当然基本解法求解方程，很多时候表示成时间卷积或者空间积分，在研究的时候往往需要给出具体数值，尤其是时间积分．实际应用中，有时候并不知道时间变量到什么时候结束等，会有很多棘手的数值方面的问题，这样长时间的积分需要很小的ｄｔ，例如算一年的地热问题等． 上述提到的概念，可能杜哈梅积分知道的人不太多，感兴趣的可以查一查振动力学看看，应该比较容易找到。 [ Last edited by onesupeng on 2010-5-13 at 09:59 ] |
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