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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】偏微分方程的基本解
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zslfw5222

新虫 (小有名气)

[交流] 【求助】偏微分方程的基本解已有4人参与

偏微分方程（组）的基本解是要满足与任一初值做卷积均构成方程的解吗？还是某几个就可以？

[ Last edited by javeey on 2010-5-12 at 15:12 ]
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1楼2010-05-12 14:23:01
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onesupeng

金虫 (职业作家)
zslfw5222(金币+1):谢谢 2010-05-13 08:24:54
基本解的思想是 线性方程的叠加性
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长期招收博士生，参见http://fsl-unsw.com
2楼2010-05-13 08:14:11
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zslfw5222

新虫 (小有名气)
能不能针对我的问题说的详细一点，谢谢
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3楼2010-05-13 08:25:42
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onesupeng

金虫 (职业作家)
★ ★ ★
小雨萌萌(金币+3):谢谢专家提供解答，辛苦了 2010-05-13 10:59:19
zslfw5222(金币+2):非常感谢 2010-05-14 15:22:30
我谈一点线性方程的解法

实际上，我们知道，方程如热传导方程等，它有源项，初始条件，边界条件等。对于一般情形，很难用直接解法或者分立变量的方法进行求解。但由于是线性方程，叠加办法仍然适用。所谓基本解法，就是场中有一个点源，或者初始场的一点，或者边界条件的一个阶跃变化等的方程的解。距离例子简单说明一下：

\partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=f(x)
T(0,x)=g(x)
T(t,0)=b1(t)
T(t,L)=b2(t)

可以分解成几个基本解：

\partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=\delta(x)
T(0,x)=0
T(t,0)=0
T(t,L)=0

\partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=0
T(0,x)=\delta(x)
T(t,0)=0
T(t,L)=0

\partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=0
T(0,x)=0
T(t,0)=\delta(t)
T(t,L)=0

\partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=0
T(0,x)=0
T(t,0)=0
T(t,L)=\delta(t)

当知道第一个的解，即可叠加得
\partial T/\partial t + \partial^2 T/\partial x^2=f（x）
T(0,x)=0
T(t,0)=0
T(t,L)=0

以此类推。对于上述分解的第一，第二种，在数理方程里面经常讲到。而后面边界条件的这种，在振动力学里面略加改进，就是杜哈梅积分，用来求解任意激励下的相应问题。后来我发现，杜哈梅积分也可略加改进，用来求接Stoke问题，边界条件随时间任意变化的问题。积分，级数，傅立叶变换，拉普拉斯变换等，都是一种叠加的思想，充分利用在线性方程的求解里面，很多时候能够有意想不到的效果。

当然基本解法求解方程，很多时候表示成时间卷积或者空间积分，在研究的时候往往需要给出具体数值，尤其是时间积分．实际应用中，有时候并不知道时间变量到什么时候结束等，会有很多棘手的数值方面的问题，这样长时间的积分需要很小的ｄｔ，例如算一年的地热问题等．

上述提到的概念，可能杜哈梅积分知道的人不太多，感兴趣的可以查一查振动力学看看，应该比较容易找到。

[ Last edited by onesupeng on 2010-5-13 at 09:59 ]
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4楼2010-05-13 09:42:37
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H_LG

银虫 (正式写手)
高手如云啊，我也想知道
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邢台学院学生论坛：http://www.xtxybbs.com
5楼2010-05-13 10:24:45
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chuckxian

新虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
4楼: Originally posted by onesupeng at 2010-05-13 09:42:37
我谈一点线性方程的解法

实际上，我们知道，方程如热传导方程等，它有源项，初始条件，边界条件等。对于一般情形，很难用直接解法或者分立变量的方法进行求解。但由于是线性方程，叠加办法仍然适用。所谓基本解法 ...

高手···我能请教个问题吗···因为我要解的偏微分方程组里，每个方程里都含有两个函数···但一般例子里方程里都一个函数，而且我把差分格式带入以后，两个函数的每层解是相互联系的···我这就真不知道该怎么办了···因为也没有任何可以参加的范例····
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6楼2013-04-18 20:59:48
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