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[求助]
求助，比较线性方程解空间的大小
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令Ω1={x|W1x1+W2x2+...WNxN>b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω2={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, Ω3={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N}, 其中a>0,b>0，亦即N维向量x限制在超立方体内，Ω1，Ω2，Ω3分别表示在超立方体中位于三个不同的超平面上面的那部分空间， 证明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，其中|Ω|表示空间Ω的大小。 |
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【答案】应助回帖
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| 有点意思，我有一个思路，不妨设向量（W1，W2，... ，WN）是单位向量，将空间做一个正交旋转（肯定存在，一望便知），把（W1，W2，... ，WN）变为（0，0，...，1）也就是y_N轴的方向向量。如此一来将那三个不等式中左边W1x1+W2x2+...WNxN这一堆难看的东西就化成了 y_N，于是三个区域就分别成为了 y_N > b-a , y_N > -b-a 和 y_N > -a，当然这个时候相应的约束条件|xi|<=1也要改写成关于y的约束，而且肯定不像原来那么好看了，这是可以理解的，在方程上占了便宜肯定要还回去，不可能便宜占尽。但是注意到我们做的是正交变换，所以单位正方体还是变为了单位正方体，也就是说并没有拉伸和压缩，没有变形，这个很关键。虽然约束条件变难看了，但这样做的好处就是三个区域的几何意义一目了然，区域1代表方体位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，区域2代表方体位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而区域3代表方体位于超平面y_N = -a 上方的那一部分。然后利用正方体的对称性，你画个图就发现不等式成立是显然的事情了。另外，你还可以发现如果允许a=0，那么不等式将变成等式。 |
2楼2013-08-06 05:42:33
3楼2013-08-06 09:30:03
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hank612
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【答案】应助回帖
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seu_adonis: 金币+18, ★★★很有帮助 2013-08-08 09:51:05
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楼主和Weft的讨论从几何, 梯度方向讨论的很深刻了,我从表达式方面画蛇添足一下. 首先, 符号说明. w=(w1, w2,..., wN) 是个固定向量 (不需要假设分量wi>0). 超立方体{(x1,...,xN) | |xi|<=1} 记为C, 记向量内积为w. x . 那么Ω1 ={ x in C| w.x > b-a}, 另外两个分别为w.x > -b-a 和 w.x > -a. 显然Ω1 包含于Ω3包含于Ω2中. 另外, 记P(k) ={ y in C| w.y =k}. 那么 P(b-a) 平面夹在 P(-b-a) 和 P(b+a)之间. 我们先来看一个引理: 引理: P(b-a) 的面积 大于等于 P(-b-a)=P(b+a), 对于任意使得P(a+b)>0的a>0, b>0. 证明: 只不过重复楼主关于梯度的思路,只是表达方式不同. 不妨设P(b-a), P(b+a) 都在P(0) 的同一侧, 即 (b>a). 显然P(b+a)是凸形, 任意取一个极值点y0 (Extreme point). 则两个集合{ 1/2 * (y-y0) : y \in P(a+b)} 和{ 1/2 * (y0 -y) : y \in P(a+b) } 只相交于原点, 也就是y=y0的时候. 同时, 这两个集合都还在C内,因为C是关于原点中心对称的凸集. 那么, 我们看出如下两个集合 (加权平均得到) { (b-a)/(b+a)*y + 2a/(b+a)* 1/2 * (y-y0) : y \in P(a+b) } 和{ (b-a)/(b+a)*y0 + 2a/(b+a)* 1/2 * (y0-y) : y \in P(a+b) } 是 (1) 只相交于一点; (2) 在C内; (3)属于P(b-a). 由于这两个P(b-a)的子集都只是P(a+b)的线性变换, 面积也是乘以一个线性因子,所以 P(b-a) >= b/(b+a)* P(a+b) + a/(b+a)* P(a+b) = P(a+b). 引理得证. 现在回到原题. 要证明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，只需要证明 | Ω3 - Ω1| > | Ω2 - Ω3| 即可. |Ω|(表示空间Ω的大小)可以由积分给出, 其中, 积分元为w方向的一维直线dx, 从零到b, 积分函数分别为P(x-a) (对于Ω3 - Ω1) 和P(-x-a)(对于Ω2 - Ω3)的面积. 引理告诉我们P(-x-a) <= P(x-a), 那自然积分就| Ω2 - Ω3|<=| Ω3 - Ω1| 了. 还有, 我很抱歉,只能证明 小于等于, 还不是楼主要求的严格小于号. |
6楼2013-08-08 01:23:35
7楼2013-08-08 09:52:34
