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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助，比较线性方程解空间的大小
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seu_adonis

新虫 (初入文坛)

[求助] 求助，比较线性方程解空间的大小

令Ω1={x|W1x1+W2x2+...WNxN>b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N},
   Ω2={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-b-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N},
   Ω3={x|W1x1+W2x2+...WNxN>-a,Wi>0,|xi|<=1,i=1,2...N},
其中a>0,b>0，亦即N维向量x限制在超立方体内，Ω1，Ω2，Ω3分别表示在超立方体中位于三个不同的超平面上面的那部分空间，
证明：|Ω1|+|Ω2|<2*|Ω3|，其中|Ω|表示空间Ω的大小。
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1楼 2013-08-05 23:27:19
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seu_adonis

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by weft at 2013-08-06 05:42:33
有点意思，我有一个思路，不妨设向量（W1，W2，... ，WN）是单位向量，将空间做一个正交旋转（肯定存在，一望便知），把（W1，W2，... ，WN）变为（0，0，...，1）也就是y_N轴的方向向量。如此一来将那三个不等式中 ...

谢谢回复和帮助。
“区域1代表方体位于超平面y_N = b-a 上方的那一部分，区域2代表方体位于超平面y_N = -b-a 上方的那一部分，而区域3代表方体位于超平面y_N = -a 上方的那一部分。”
正交旋转后的确简洁了很多，但是高维情况下不方便用图形来说明这三个区域的关系，其实也知道y_N = -a两边区域体积对于常数值变化的梯度是不一样的，但就是纠结怎么用数学表达式证明出来。
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3楼2013-08-06 09:30:03
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seu_adonis

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by weft at 2013-08-06 13:33:37
不解为什么跟梯度扯上了关系？
我不知道你想要一个怎样的数学表达式的证明。其实现在可以看到“在y_N = b-a 上方的那一部分”与“y_N = -b-a 上方的那一部分”的体积之和就是整个立方体的体积，因为实际上二者可以 ...

那假设（W1，W2，... ，WN）刚好就是（0，0，...，1），连旋转都省了，另外a=b=0.1,你的意思是说"y_N = 0上方的那一部分"和"y_N = -0.2上方的那一部分"的体积之和就是1？
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5楼2013-08-06 14:13:01
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新虫 (初入文坛)
引用回帖:
6楼: Originally posted by hank612 at 2013-08-08 01:23:35
楼主和Weft的讨论从几何, 梯度方向讨论的很深刻了,我从表达式方面画蛇添足一下.

首先, 符号说明.  w=(w1, w2,..., wN) 是个固定向量 (不需要假设分量wi>0).  
超立方体{(x1,...,xN) | |xi|<=1} 记为C,  记 ...

是小于等于，发完贴发现漏了，也就没改了。
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7楼2013-08-08 09:52:34
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