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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】集列的上下极限的三个问题？请大虾解答
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rainbowguy

银虫 (正式写手)

[交流] 【求助】集列的上下极限的三个问题？请大虾解答

最近看集列的极限，看的比较头大，请教大虾以下几个问题：
（1）集列的上极限公式是怎么得出的？大虾能不能用通俗的语言解释一下，我一直理解不了公式右侧的交和并怎么会是上极限。如下图所示，


（2）请大虾看一下这个例题，为什么下极限是(-1,1],而不是(-1,1)?


（3）集列的上极限、下极限到底在数学上有什么用途？
请教各位大虾指教！
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1楼 2011-03-19 21:10:23
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liliangmatn

银虫 (小有名气)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
首先，集合的极限的交并运算只是与上下确界运算有类似的地方（在单调的情况下）；但并不能这样简单的理解！
对于集合上下极限的定义的确有些绕口：
上极限={x：x属于无限多个E_n};
下极限={x：x至多不属于有限个E_n};
这个很绕口的定义是等价于交并运算的公式的，直接写就可以了！
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12楼2011-04-16 00:23:54
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cxy1010

金虫 (小有名气)

1楼

rainbowguy(金币+5): 2011-03-19 22:48:43
引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-03-19 21:10:23:
最近看集列的极限，看的比较头大，请教大虾以下几个问题：
（1）集列的上极限公式是怎么得出的？大虾能不能用通俗的语言解释一下，我一直理解不了公式右侧的交和并怎么会是上极限。如下图所示，
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建议你去听听http://www.ssvideo.cn/playvideo.asp?id=37823就明白啦
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2楼2011-03-19 21:18:43
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zyxme

至尊木虫 (文坛精英)
不懂呀
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3楼2011-03-19 21:30:26
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+5): 2011-03-20 19:07:54
(1)一个等价的直观定义是：{Ak}的上限集由属于{Ak}中无穷多个集合的元素所生成的集合；{Ak}的下限集是由只不属于{Ak}中有限多个集合的元素所生成的集合。

(2)容易看出1只不属于A2而属于任何其他Ak(k不等于2),从而根据(1),1属于{Ak}的下限集
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4楼2011-03-19 22:35:28
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by cxy1010 at 2011-03-19 21:18:43:
建议你去听听http://www.ssvideo.cn/playvideo.asp?id=37823就明白啦

已经看了，对于第（2）个问题中的例题，大虾能够给详细解释一下？
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5楼2011-03-19 22:48:32
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
集列的上下极限以及收敛性是实分析中最鸡肋的概念，往往把初学者搞得一头雾水，但实际上又并没有什么特别大的重要性，学到后面你就会发现，只需要有“可数并” “可数交”的概念就完全足够，完全没有必要去倒腾什么上下极限，我学了这么多年，所见过的关于集列上下极限的结果少得可怜，甚至于我想用它来说明一些问题的时候，都找不到现成的结论可供应用，所以说啊，理解了当然好，理解不了，也没有什么要紧，反正不影响学习，跳过去就跳过去了，将来见识丰富了之后总能理解的。
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6楼2011-03-19 23:15:51
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
rainbowguy(金币+10): 2011-03-20 19:07:35
我翻了一下前苏联人那汤松写的《实变函数论》，人家根本就没有提什么“上下极限”的概念，只是在一个习题中要求证明类似于



这样的命题，然而从未给这样的集合赋予一个名称，可见这东西根本就不重要，没了它照样成书。而且这还说明，国内实变教材上的所谓上下极限的术语很可能是国人自己演绎出来的玩意，因为它们的源头是没有这种东西的。
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7楼2011-03-19 23:36:14
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ssszhangxx

铁杆木虫 (正式写手)
1在所有的A中
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8楼2011-03-20 00:33:15
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cxy1010

金虫 (小有名气)

1楼

引用回帖:
Originally posted by rainbowguy at 2011-03-19 22:48:32:
已经看了，对于第（2）个问题中的例题，大虾能够给详细解释一下？

上楼已经解释了他是对的。
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9楼2011-03-20 01:01:38
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wuxiaoxing

金虫 (著名写手)
rainbowguy(金币+2): 2011-03-20 19:08:41
上极限可以看成是所有子列极限的上确界 下极限类似
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10楼2011-03-20 11:08:56
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rainbowguy

银虫 (正式写手)
多谢Pchief 、just_play、cxy1010、wuxiaoxing等大虾，
学习集列上下极限时确实比较头大，现在也只是大概理解了。
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11楼2011-03-20 19:10:49
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David402

新虫 (职业作家)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
上极限和下极限在国内的实变函数教材里面都有，一般会给出四个等价定义，一个是描述性的，二是像LZ给出的，三是使用epslon语言描述，四是使用数学分析中的记号（这个可能记错了）。一般来说，像LZ那样的用得多，但是理解起来使用epslon语言方便，证明使用这个个人觉得好理解些（奇怪的是国内教材使用的少，也许大牛们一眼就看出来了或者我不理解他们的做法）。在实际计算的时候，一般使用
【求助】集列的上下极限的三个问题？请大虾解答
两边一般能取到等号
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13楼2014-11-27 19:38:56
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Edstrayer

版主 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
这就是集合的极限运算的定义的直接推论，用定义就可以得到
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14楼2014-11-28 00:08:54
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Neyeee

银虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
(1)可以这样理解：观察{An}的上极限，它是对于An的所有并集序列求其交集，这个并集序列的每一个元素你会发现，它总是会把无穷远的那个An并含在内，也就是说每一个并集序列它至少包含 n为无穷的那个An。再对它求交集后，很明显的结论就是，交集里必然存在n在无穷大时的An，也就是说n趋于无穷时的An是必然属于{An}的上极限的。即：lim An属于上极限lim An。

下极限是同样的，{An}的下极限，是对于An的所有交集序列求并，你会观察到这个交集序列的每个元素，必然是n趋于无穷时An的一个子集。再把所有的子集求并，你会发现{An}的下极限必然被n趋于无穷时的An包含。

下上是直观的理解，这样的话就会明白，上极限{An}包含下极限{An}，当下极限{An}等于上极限{An}时，{An}的极限存在，就是n趋于无穷的An。
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15楼2015-10-16 11:41:02
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