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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 问个泛函分析的问题， 有关序列极限，略难。。。
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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)

[求助] 问个泛函分析的问题， 有关序列极限，略难。。。

在拓扑空间中，序列子列的极限称为序列的极限点，其全体称为极限点集。设(X,d)是紧度量空间。如果X中两个序列{x_n},{y_n}有相同的极限点集，证明有个双限f:N-->N  使 lim_n d(x_n,y_{f(n)})=0。（ N是自然数集。）

[ Last edited by Ptolomaeus on 2011-12-27 at 19:22 ]
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1楼 2011-12-27 19:21:10
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回帖置顶 ( 共有1个 )

xxxfield

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
Ptolomaeus(金币+40): ★★★很有帮助 2012-01-01 22:17:58
nono2009(数学EPI+1): 成功应助 2012-01-02 07:43:27
设极限点集为K，取一序列epsilon_n单调下降趋向于0。对n=1，存在N_1，当n>N_1时, x_n,y_n都属于K的epsilon_1邻域K_1内，这样{x_n},{y_n},(n<=N_1)可作一一对应。由紧性，可将K_1划分成互不相交的有限份，设为K_1^1,K_1^2,...,K_1^{m1}，使得每个K_1^j的直径小于等于epsilon_1，且都含有K中的点。这样可将{x_n},{y_n},(n>N_1)同时划分成有限份，设为{x_n^1},...,{x_n^{m1}}，{y_n^1},...,{y_n^{m1}}（每个都是无穷序列），使得{x_n^j},{y_n^j}都属于K_1^j，显然|x_n^j-y_n^j|<=epsilon_1。接下来，对每个K与K_1^j的交集以及epsilon_2作同样的过程，使得在{x_n^j},{y_n^j}中除有限个点（两个序列中取一样多的个数）外，都在K的epsilon_2邻域内，而这除外的有限个点之间可建立一一对应，且它们之间的距离<=epsilon_1。接下来的过程应该明白了。
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8楼2011-12-30 12:46:24
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普通回帖

Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)
木有人回答。。。顶一下
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2楼2011-12-27 23:39:12
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begtostudy

金虫 (正式写手)

Dr. 白途思
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3楼2011-12-28 08:56:47
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jollage

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~~ 2011-12-28 22:22:14
Ptolomaeus(金币+1): ★有帮助 |x_n - y_n|Ptolomaeus(金币+9): 2012-01-01 11:36:45
对于某一个epsilon，总有n使
|x_n - y_{f(n)}|<|x_n - y_n| + |y_n - y_{f(n)}|< epsilon/2 + epsilon/2

|x_n - y_n|
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4楼2011-12-28 21:36:13
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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
楼: Originally posted by jollage at 2011-12-28 21:36:13:
对于某一个epsilon，总有n使
|x_n - y_{f(n)}|<|x_n - y_n| + |y_n - y_{f(n)}|< epsilon/2 + epsilon/2

|x_n - y_n|<epsilon/2  是已知，|y_n - y_{f(n)}|<epsilon/2 是紧空间。

|x_n - y_n|
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5楼2011-12-29 20:25:34
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jollage

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
小雨萌萌(金币+1): 谢谢回帖~ 2011-12-30 09:45:08
我是这样想的：
如果对于某一个epsilon，我们有{x_n}中的某个子序列趋向于极限点P，因为{x_n}和{y_n}有相同的极限点集，在P附近肯定有一个属于{y_n}的子序列趋向于P，所以可以找到这样的n使得|x_n - y_n|
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6楼2011-12-29 21:52:06
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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
楼: Originally posted by jollage at 2011-12-29 21:52:06:
我是这样想的：
如果对于某一个epsilon，我们有{x_n}中的某个子序列趋向于极限点P，因为{x_n}和{y_n}有相同的极限点集，在P附近肯定有一个属于{y_n}的子序列趋向于P，所以可以找到这样的n使得|x_n - y_n|<eps ...

子序列说不清楚
另外存在这样的n与存在N，任意n>N都成立是不一样的
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7楼2011-12-29 22:14:12
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
nono2009(金币+3): 鼓励应助 2012-01-02 07:42:59
由于(X,d)为紧的度量空间，我证明下面一个结论：设有界实数集[0,1]中有两个极限点集相同的数列{xn}、{yn}，则一定存在双限f: N---->N，使得
lim_n |x_n-y_{f(n)}|=0。而原问题的证明与此相似。

第一步：{xn}可以分解为最多可列个不相交的子集{xnk}的并，且每一个子列都是收敛的
证明：将[0,1]分解为两个区间[0,1/2)、[1/2,1]，{xn}也被分解为两个子列，如果其中只有有限个点，则作为另一个区间点集的前有限个点，如果其中有无限个点，将这区间平分……一直进行进去，分界点都是有理数，所以点集{xn}被分为最多可列个点集。极限相同的点集合并后就得到了最多可列个点集，且每个点集都有唯一的极限点。
说明：如果没有紧性，上述空间分割是不能做到的。
第二步：设{xn(i)}和{ym(j)}为{xn}和{yn}的满足上述分割的子集，且极限相同。再由于{xn}和{yn}极限点集相同，所以定义映射 f(n(i))=m(j)
可以验证n(i)和m(j)的并为自然数集，且f为双射
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9楼2011-12-31 19:53:28
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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by jfili at 2011-12-31 19:53:28:
由于(X,d)为紧的度量空间，我证明下面一个结论：设有界实数集[0,1]中有两个极限点集相同的数列{xn}、{yn}，则一定存在双限f: N---->N，使得
lim_n |x_n-y_{f(n)}|=0。而原问题的证明与此相似。

第一步：{ ...

你这样划分的端点可以和[0,1]之间二进制小数全体形成一一对应，从而是不可列的。
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10楼2012-01-01 11:51:21
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