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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 问个泛函分析的问题， 有关序列极限，略难。。。
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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)

[求助] 问个泛函分析的问题， 有关序列极限，略难。。。

在拓扑空间中，序列子列的极限称为序列的极限点，其全体称为极限点集。设(X,d)是紧度量空间。如果X中两个序列{x_n},{y_n}有相同的极限点集，证明有个双限f:N-->N  使 lim_n d(x_n,y_{f(n)})=0。（ N是自然数集。）

[ Last edited by Ptolomaeus on 2011-12-27 at 19:22 ]
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1楼2011-12-27 19:21:10
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jfili

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
nono2009(金币+3): 鼓励应助 2012-01-02 07:42:59
由于(X,d)为紧的度量空间，我证明下面一个结论：设有界实数集[0,1]中有两个极限点集相同的数列{xn}、{yn}，则一定存在双限f: N---->N，使得
lim_n |x_n-y_{f(n)}|=0。而原问题的证明与此相似。

第一步：{xn}可以分解为最多可列个不相交的子集{xnk}的并，且每一个子列都是收敛的
证明：将[0,1]分解为两个区间[0,1/2)、[1/2,1]，{xn}也被分解为两个子列，如果其中只有有限个点，则作为另一个区间点集的前有限个点，如果其中有无限个点，将这区间平分……一直进行进去，分界点都是有理数，所以点集{xn}被分为最多可列个点集。极限相同的点集合并后就得到了最多可列个点集，且每个点集都有唯一的极限点。
说明：如果没有紧性，上述空间分割是不能做到的。
第二步：设{xn(i)}和{ym(j)}为{xn}和{yn}的满足上述分割的子集，且极限相同。再由于{xn}和{yn}极限点集相同，所以定义映射 f(n(i))=m(j)
可以验证n(i)和m(j)的并为自然数集，且f为双射
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9楼2011-12-31 19:53:28
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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)
木有人回答。。。顶一下
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2楼2011-12-27 23:39:12
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jollage

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
soliton923(金币+1): 谢谢参与讨论~~~ 2011-12-28 22:22:14
Ptolomaeus(金币+1): ★有帮助 |x_n - y_n|Ptolomaeus(金币+9): 2012-01-01 11:36:45
对于某一个epsilon，总有n使
|x_n - y_{f(n)}|<|x_n - y_n| + |y_n - y_{f(n)}|< epsilon/2 + epsilon/2

|x_n - y_n|
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4楼2011-12-28 21:36:13
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Ptolomaeus

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
楼: Originally posted by jollage at 2011-12-28 21:36:13:
对于某一个epsilon，总有n使
|x_n - y_{f(n)}|<|x_n - y_n| + |y_n - y_{f(n)}|< epsilon/2 + epsilon/2

|x_n - y_n|<epsilon/2  是已知，|y_n - y_{f(n)}|<epsilon/2 是紧空间。

|x_n - y_n|
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5楼2011-12-29 20:25:34
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