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Ptolomaeus铁杆木虫 (正式写手)
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[求助]
问个泛函分析的问题， 有关序列极限，略难。。。
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在拓扑空间中，序列子列的极限称为序列的极限点，其全体称为极限点集。设(X,d)是紧度量空间。如果X中两个序列{x_n},{y_n}有相同的极限点集，证明有个双限f:N-->N 使 lim_n d(x_n,y_{f(n)})=0。（ N是自然数集。） [ Last edited by Ptolomaeus on 2011-12-27 at 19:22 ] |
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nono2009(数学EPI+1): 成功应助 2012-01-02 07:43:27
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| 设极限点集为K，取一序列epsilon_n单调下降趋向于0。对n=1，存在N_1，当n>N_1时, x_n,y_n都属于K的epsilon_1邻域K_1内，这样{x_n},{y_n},(n<=N_1)可作一一对应。由紧性，可将K_1划分成互不相交的有限份，设为K_1^1,K_1^2,...,K_1^{m1}，使得每个K_1^j的直径小于等于epsilon_1，且都含有K中的点。这样可将{x_n},{y_n},(n>N_1)同时划分成有限份，设为{x_n^1},...,{x_n^{m1}}，{y_n^1},...,{y_n^{m1}}（每个都是无穷序列），使得{x_n^j},{y_n^j}都属于K_1^j，显然|x_n^j-y_n^j|<=epsilon_1。接下来，对每个K与K_1^j的交集以及epsilon_2作同样的过程，使得在{x_n^j},{y_n^j}中除有限个点（两个序列中取一样多的个数）外，都在K的epsilon_2邻域内，而这除外的有限个点之间可建立一一对应，且它们之间的距离<=epsilon_1。接下来的过程应该明白了。 |
8楼2011-12-30 12:46:24
Ptolomaeus
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2楼2011-12-27 23:39:12
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【答案】应助回帖
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由于(X,d)为紧的度量空间，我证明下面一个结论：设有界实数集[0,1]中有两个极限点集相同的数列{xn}、{yn}，则一定存在双限f: N---->N，使得 lim_n |x_n-y_{f(n)}|=0。而原问题的证明与此相似。 第一步：{xn}可以分解为最多可列个不相交的子集{xnk}的并，且每一个子列都是收敛的 证明：将[0,1]分解为两个区间[0,1/2)、[1/2,1]，{xn}也被分解为两个子列，如果其中只有有限个点，则作为另一个区间点集的前有限个点，如果其中有无限个点，将这区间平分……一直进行进去，分界点都是有理数，所以点集{xn}被分为最多可列个点集。极限相同的点集合并后就得到了最多可列个点集，且每个点集都有唯一的极限点。 说明：如果没有紧性，上述空间分割是不能做到的。 第二步：设{xn(i)}和{ym(j)}为{xn}和{yn}的满足上述分割的子集，且极限相同。再由于{xn}和{yn}极限点集相同，所以定义映射 f(n(i))=m(j) 可以验证n(i)和m(j)的并为自然数集，且f为双射 |
9楼2011-12-31 19:53:28
Ptolomaeus
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