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一个复数不等式

作者 Edstrayer: 来源: 小木虫 950 19 举报帖子

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一个复数不等式：

复变函数复数的不等式001.gif

Let [latex]0<\mid z\mid <1[/latex],please proof :

[latex]\frac{1}{4}\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<\frac{7}{4}\mid z\mid[/latex]

[ Last edited by Edstrayer on 2014-4-29 at 19:35 ]

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精华评论

dfsvdf

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8楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-13 16:03:32
单独出一项sin^2(y) 有问题。...

嗯，是的，我错了
Edstrayer

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7楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-13 11:42:01
考虑到解析函数 f(z)=(e^z-1)/z 的最大值和最小值只在边界 |z|=1上取到，因此画了两个图：一个是 (e^z-1)的图像， with |z|=1 （红色）, 另一个是模 |e^z-1| （蓝色）. 貌似 min=1-e^{-1}, max=e-1.哪位大神能严 ...

这个题目不需要用数学软件计算吧？
hank612

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10楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-14 13:32:05
这个题目不需要用数学软件计算吧？...

数学软件让我们看到要证明的不等式是:

(1- e^{-1}) |z| < |e^z -1| < (e-1) |z|, 当 |z| <1 时.
然而 the more I see, the less I know.

我证明不了上面的不等式, 想请教高明能否写出严格证明.
Edstrayer

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11楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 01:43:25
数学软件让我们看到要证明的不等式是:

(1- e^{-1}) |z| < |e^z -1| < (e-1) |z|, 当 |z| <1 时.
然而 the more I see, the less I know.

我证明不了上面的不等式, 想请教高明能否写出严格证 ...

这只要用幂级数e^z=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}代入\mid e^-1\mid中后用三角不等式进行放缩就可以得到所要证明的不等式。
hank612

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12楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 03:17:09
这只要用幂级数e^z=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}代入\mid e^-1\mid中后用三角不等式进行放缩就可以得到所要证明的不等式。...

我知道怎么证明 |e^z-1| < (e-1) |z|, 我想知道的是怎么证明
|e^z -1| > (1- e^{-1}) |z|.

我不想要 |e^z-1| > (3-e) |z| 这样粗放的估计, 因为 3-e=0.2817..,
1-e^{-1} =0.632 差的非常多.
Edstrayer

当0<x<1时，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
            =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
            =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
            >=x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}))
            >x(1-(\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}))
            =x(3-e)
这里当x→1时，\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}→\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n!}=e-2
所以不等式｜e^z-1｜>(3-e)｜z｜不能改进为｜e^z-1｜>(1-1/e)｜z｜
hank612

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14楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-04-15 04:14:20
当0<x<1时，
｜e^x-1｜=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}
            =x  \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}
            =x(1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x^{n-1}}{n!})
            &g ...

不妨检查一下逻辑:

|e^x-1| >= x *(...).
当 x--> 1 时, (...) =e-2, 然后你说:
所以不等式不能改进.  这有点风马牛不相及啊.

顶多说, 用你所述的放缩法, 不等式所能达到的最好程度.

定理: 当 |z|<1时,  |e^z -1| > (1-e^{-1}) |z|.  求证明. (由图形可知, 定理成立)
，
Edstrayer

引用回帖:
15楼: Originally posted by hank612 at 2014-04-15 04:25:00
不妨检查一下逻辑:

|e^x-1| >= x *(...).
当 x--> 1 时, (...) =e-2, 然后你说:
所以不等式不能改进. 这有点风马牛不相及啊.

顶多说, 用你所述的放缩法, 不等式所能达到的最好程度.

定理: 当 ...

实数的情形都不能改进，复数更不能够，你所说的命题不成立