小木虫

当前位置：首页 > 数学 >一个复数不等式

一个复数不等式

作者 Edstrayer: 来源: 小木虫 950 19 举报帖子

+关注

一个复数不等式：

复变函数复数的不等式001.gif

Let [latex]0<\mid z\mid <1[/latex],please proof :

[latex]\frac{1}{4}\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<\frac{7}{4}\mid z\mid[/latex]

[ Last edited by Edstrayer on 2014-4-29 at 19:35 ]

今日热帖

精华评论

feixiaolin

取z=x+iy
转变成实函数 sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求极值？
dfsvdf

引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-12 17:47:50
取z=x+iy
转变成实函数 sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求极值？

不对。e^z-1的值为：

1.png

编辑：上面的内容是错的，2楼的是对的
，
Edstrayer

引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-04-12 17:47:50
取z=x+iy
转变成实函数 sqrt((exp(2*x)-2*exp(x)*cos(y)+1)/(x^2+y^2)) 求极值？

用求极值的方法不好解吧？
这个不等式可以改进为：
设0<\mid z\mid<1，试证：
(3-e)\mid z\mid<\mid e^z-1\mid<(e-1)\mid z\mid.
dfsvdf

我觉得应该对于|e^z-1|^2，先变换，再展开。
把(siny)^2换为1-(cosy)^2，把(cosy)^2换为(cos2y+1)/2,
再把e^(2x),e^x,cosy按照麦克劳林级数展开。
接下来的处理就看你了
Edstrayer

$&space;（3-e)\mid&space;z\mid<\mid&space;e^z-1\mid<(e-1)\mid&space;z\mid$
hank612

考虑到解析函数 f(z)=(e^z-1)/z 的最大值和最小值只在边界 |z|=1上取到，因此画了两个图：一个是 (e^z-1)的图像， with |z|=1 （红色）, 另一个是模 |e^z-1| （蓝色）. 貌似 min=1-e^{-1}, max=e-1.哪位大神能严格证明之？

Matlab 源程序：
N=500; th = 0:pi/N:2*pi;
a =exp(cos(th)).*cos(sin(th))-1;
b =exp(cos(th)).*sin(sin(th));
c =sqrt(a.^2 +b.^2);
plot( a, b, 'r', th, c,'b')

Emuch007.png
feixiaolin

引用回帖:
3楼: Originally posted by dfsvdf at 2014-04-12 18:06:13
不对。e^z-1的值为：

1.png
...

单独出一项sin^2(y) 有问题。