第一问比较简单，对曲线求导输出两个零点，即A,B两点x坐标会知道，然后带入求得y坐标，又跟直线平行直接根据两点斜率求得p.第二问，取零点，将含a项移到右边，作图即可求得范围。

高中的时候最开始做第二题这种体型，总是把自己绕晕。其实没什么

直线与曲线有两个实交点，由于曲线是三次曲线，所以有三个实交点，设为[latex]A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)[/latex]，联立方程组：

[latex]\left\{\begin{array}{l}x-9y-8=0\\y=x^3-px^2+3x\end{array}\right.[/latex]

消去y得到方程[latex]x^3-px^2+\frac{26}{9}x+\frac{8}{9}=0[/latex]，故[latex]x_1,x_2,x_3[/latex]是上述方程的三个实根，于是由韦达定理就得到：

[latex]\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=p\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{26}{9}\\x_1x_2x_3=-\frac{8}{9}\end{array}\right.[/latex]

由于曲线在A，B处的切线平行，所以就有：

[latex]3x_1^2-2px_1+3=3x_2^2-2px_2+3[/latex]

从而得到：

[latex]\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=\frac{2p}{3}\\x_3=\frac{p}{3}\\x_1x_2=\frac{26-2p^2}{9}\end{array}\right.[/latex]

于是就得到关于p的方程：

[latex]\frac{26-2p^2}{9}\times\frac{p}{3}=-\frac{8}{9}[/latex]

解此方程得到p的三个值：p=4，p=-3，p=-1，

第二题先换元t=x-1,然后分离参数，显然t=1，-1是两个根，于是问题转化为a=(s+1)(s^2-1)有两个非正负1的根，求a范围（其中s是t的绝对值），那么画图求导可知-32/27<a=<-1

应该是a>-1且a不等于0。见图片过程

引用回帖:

6楼: Originally posted by vect at 2016-04-08 12:18:45
应该是a>-1且a不等于0。见图片过程

的确是我疏忽了，忘记了对称性，谢谢指出