【答案】应助回帖

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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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【答案】应助回帖

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直线与曲线有两个实交点，由于曲线是三次曲线，所以有三个实交点，设为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ ，联立方程组：

$\left\{\begin{array}{l}x-9y-8=0\\y=x^3-px^2+3x\end{array}\right.$

消去y得到方程 $x^3-px^2+\frac{26}{9}x+\frac{8}{9}=0$ ，故 $x_1,x_2,x_3$ 是上述方程的三个实根，于是由韦达定理就得到：

$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=p\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{26}{9}\\x_1x_2x_3=-\frac{8}{9}\end{array}\right.$

由于曲线在A，B处的切线平行，所以就有：

$3x_1^2-2px_1+3=3x_2^2-2px_2+3$

从而得到：

$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=\frac{2p}{3}\\x_3=\frac{p}{3}\\x_1x_2=\frac{26-2p^2}{9}\end{array}\right.$

于是就得到关于p的方程：

$\frac{26-2p^2}{9}\times\frac{p}{3}=-\frac{8}{9}$

解此方程得到p的三个值：p=4，p=-3，p=-1

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

4楼2016-04-08 00:39:59

陈科君

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引用回帖:

4楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-04-08 00:39:59
直线与曲线有两个实交点，由于曲线是三次曲线，所以有三个实交点，设为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)，联立方程组：
\left\{\begin{array}{l}x-9y-8=0\\y=x^3-px^2+3x\end{array}\right.
消去y得到方程x^3-px ...

好像高三没有学过三次的韦达定理

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8楼2016-04-08 14:28:00

LRoger

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一个已经高中毕业7年抱着当年对数学的热爱试着以函数图像的方式解答下第2题（第1题其他人已经答得很好了就不再赘述了）
PS：本人专业为口腔医学所以数学水平应该停留在高中阶段所以我能想得到的楼主也应该能理解哈哈有些地方有些跳跃生硬不严谨还要多多见谅

最后我的答案是 a>-1且≠0时有四个零根

见图

IMG_0358.JPG

IMG_0359.JPG

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一个不务正业的口腔医学研究僧半个技术宅网球向3.5前进！哈哈

12楼2016-04-09 00:20:13

zybsbsfly

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第一问比较简单，对曲线求导输出两个零点，即A,B两点x坐标会知道，然后带入求得y坐标，又跟直线平行直接根据两点斜率求得p.第二问，取零点，将含a项移到右边，作图即可求得范围。

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2楼2016-04-08 00:05:38

i维数

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【答案】应助回帖

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第二题先换元t=x-1,然后分离参数，显然t=1，-1是两个根，于是问题转化为a=(s+1)(s^2-1)有两个非正负1的根，求a范围（其中s是t的绝对值），那么画图求导可知-32/27<a=<-1

5楼2016-04-08 11:43:47

i维数

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引用回帖:

6楼: Originally posted by vect at 2016-04-08 12:18:45
应该是a>-1且a不等于0。见图片过程

的确是我疏忽了，忘记了对称性，谢谢指出

7楼2016-04-08 12:51:00

vect

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令f(x)=x^3-px^2+26x/9+8/9,即两个函数的y值的差，则问题转化成f(x)有两个零点，且在零点处的导数值相同。
那么f(x)不应该单调，否则f(x)至多一个零点。所以导数f'(x)应该异号，即导数值3x^2-2px+26/9应该有正有负，即3x^2-2px+26/9=0有两个实根，所以判别式要大于零，即p^2-26/3>0。选择题中3,4代入p都不满足，所以只能选D

9楼2016-04-08 21:27:14

LISH0025

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高三的时候做第一题，如果是平时做我就会写公式做，如果是考试，就带进去算，比较直接。所以呀，这种数学，真是呵呵

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10楼2016-04-08 21:46:56

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onion_onion

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高中的时候最开始做第二题这种体型，总是把自己绕晕。其实没什么

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青春不常在，及时行乐。

3楼2016-04-08 00:23:38

vect

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应该是a>-1且a不等于0。见图片过程

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2016-04-08 12:17:46, 1.14 M

6楼2016-04-08 12:18:45