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一道平面几何的习题

作者 Edstrayer: 来源: 小木虫 1000 20 举报帖子

题目：如图所示，设K是正n边形[latex](n\geqslant 3)[/latex]，O是K的外接圆的圆心，PQ和QR是K的相邻的两边，A是PQ的中点，B是垂直于QR的圆O的半径OC的中点。试计算[latex]\angle ABC=?[/latex]
Hint：用含n的代数式表示。

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i维数

说一下思路：先建系，O(0,0),R(r,0),Q(r*cos(2pi/n),r*sin(2pi/n)),P(r*cos(4pi/n),r*sin(4pi/n)).因为A为PQ的中点，所以A坐标可以求出.又C(r*cos(pi/n),r*sin(pi/n)),B为OC中点，所以B坐标也可以求出。所以AB,BC,CA的长度均已知，由余弦定理可以求出cos∠ABC的值，从而求出∠ABC。
liuqh

设圆半径为1，三角形OAB中，OA=cos(90/n),OB=1/2,角AOB=180/n,运用正弦定理得角OAB，角ABC=角AOB＋角OAB
Edstrayer

引用回帖:
2楼: Originally posted by i维数 at 2016-08-03 00:57:31
说一下思路：先建系，O(0,0),R(r,0),Q(r*cos(2pi/n),r*sin(2pi/n)),P(r*cos(4pi/n),r*sin(4pi/n)).因为A为PQ的中点，所以A坐标可以求出.又C(r*cos(pi/n),r*sin(pi/n)),B为OC中点，所以B坐标也可以求出。所以AB,BC,C ...

解析法可以算出结果，但是中间的余弦定理的应用，中间结果的化简比较复杂
，
Edstrayer

引用回帖:
3楼: Originally posted by liuqh at 2016-08-03 08:07:50
设圆半径为1，三角形OAB中，OA=cos(90/n),OB=1/2,角AOB=180/n,运用正弦定理得角OAB，角ABC=角AOB＋角OAB

用正弦定理得到的结果相对简单一些
c333000

这么简单的题也问啊
2*pi/n啊
c333000

不好意思看错了啊抱歉抱歉
在o点建立平面直角坐标系，oc为x轴，y轴按右手法则确定，易知C（r，0）；所以B（r/2，0）；
OA=r*cos（pi/n）；所以A（r*cos（pi/n）*cos（2pi/n），r*cos（pi/n）*sin（2pi/n））；
所以BC向量为（r/2，0）；BA向量为（r*cos（pi/n）*cos（2pi/n）-r/2，r*cos（pi/n）*sin（2pi/n））；
所以角ABC为向量BC和向量BA的夹角（即向量BA在向量BC上的单位投影），整理即可。
xiashaoyan

初中的知识就能解答了。AB平行OP，所以角ABC等于角POC，而由于AP AQ QC CR线段是相等的，所以角POA AOQ QOC把角POC三等分了，而PQ QR是n边行，自然能输出每个边对应的角，那么角POC即可求出