数学归纳法行吗。

直接上归纳法啦.

先化简下问题, 让 [latex] u_n=y_n+\sqrt{3}x_n, v_n=y_n-\sqrt{3}x_n, a=2+\sqrt{3}, b=a^{-1}=2-\sqrt{3}[/latex],
那么要求证明 u_n * v_n=1.  

由于 [latex]  u_{n+1}-a\cdot u_n=b(u_n - a\cdot u_{n-1}), v_{n+1}-b\cdot v_n=a(v_n - b\cdot v_{n-1} [/latex], 结合初值条件 u1=1, u2=a; v1=1, v2=b, 立得: u_{n+1} =a* u_n, v_{n+1} =b* u_n,  

因此, U(n+1)V(n+1)=a*b*U(n)V(n)=U(n)V(n).

由归纳假设, U(n)V(n)=1, 证毕，

似乎需要使用Z变换求解以上两个差分方程，分别求得x、y与n的关系，然后证明y^2=3*x^2+1就水到渠成了。

差​分​方​程​的​求​解
https://wenku.baidu.com/link?url ... -fPbwY0Phid02TmWrVu

由Z变换可得到：
x(n)=1/[2*sqrt(3)]*{[2+sqrt(3)]^n-[2-sqrt(3)]^n}
y(n)=1/2*{[2+sqrt(3)]^n + [2-sqrt(3)]^n} 。

由此便可得到：y^2(n)=3*x^2(n) + 1