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Edstrayer

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[交流] 关于差分的一道习题已有2人参与

设 $x_0=0,x_1=1$ 且 $x_{n+1}=4x_n-x_{n-1},y_0=1,y_1=2$ 且 $y_{n+1}=4y_n-y_{n-1}$
试证：对一切整数 $n\geqslant 0$ ，有 $y_n^2=3x_n^2+1$ 。

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1楼2014-06-18 16:44:40

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shuxue0

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数学归纳法行吗。

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2楼2014-06-18 18:00:29

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Edstrayer

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2楼: Originally posted by shuxue0 at 2014-06-18 18:00:29
数学归纳法行吗。

没试过，我想可能证不出来，……

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2014-06-19 04:58:48

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hank612

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Edstrayer: 金币+5, 很棒，很给力！ 2014-06-19 14:39:15

直接上归纳法啦.

先化简下问题, 让 $u_n=y_n+\sqrt{3}x_n, v_n=y_n-\sqrt{3}x_n, a=2+\sqrt{3}, b=a^{-1}=2-\sqrt{3}$ ,
那么要求证明 u_n * v_n=1.

由于 $u_{n+1}-a\cdot u_n=b(u_n - a\cdot u_{n-1}), v_{n+1}-b\cdot v_n=a(v_n - b\cdot v_{n-1}$ , 结合初值条件 u1=1, u2=a; v1=1, v2=b, 立得: u_{n+1} =a* u_n, v_{n+1} =b* u_n,

因此, U(n+1)V(n+1)=a*b*U(n)V(n)=U(n)V(n).

由归纳假设, U(n)V(n)=1, 证毕.

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We_must_know. We_will_know.

4楼2014-06-19 06:22:53

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