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xingfu1990

新虫 (初入文坛)

[求助] 求解积分方程！！！！ 已有2人参与

dy1/dt=-k*y1,    dy2/dt=k*y1-m*y2，k和m为常数，求y2与t的关系式，求大神赐教！！不胜感激
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1楼 2015-07-01 19:21:49
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
xingfu1990(feixiaolin代发): 金币+2 2015-07-02 07:11:19
feixiaolin: 金币+1 2015-07-02 07:11:34
求解微分方程组：


其中k，m是常数。
解：由利用变量分离法可知其通解为：


其中是待定常数。
将上述通解代入第二个方程中，得到：


上面的微分方程是一阶常系数非齐次方程，可以利用常数变异法求解，得到通解为：


其中是任意的待定常数。
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xingfu1990
青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2015-07-02 05:50:12
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普通回帖

wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
xingfu1990(feixiaolin代发): 金币+3 2015-07-02 07:11:10
这个属于常系数线性微分方程组!
可以参考常微分方程方面的书!
系数矩阵:
[-k 0;k -m]
特征值:-k 和-m
最后待定系数:
可得y1=c1*(m-k)*exp(-k*t);y2=c1*k*exp(-k*t)+c2*exp(-m*t);
其中c1,c1为任意常数!
赞一下 回复此楼
善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2015-07-01 21:56:20
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
另外一种解法是利用拉普拉斯变换处理
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4楼2015-07-02 07:12:31
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难写啊

新虫 (正式写手)
楼主的问题是常规可解的情况，
简单的办法两个，1 用maple软件，输入你的方程组，它就给你解出
2. 按照书上的公式解出，步骤也少
赞一下 回复此楼
email:myronsaga1@sohu.com.qq:89260998
5楼2015-07-02 10:49:22
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mygt_hit

专家顾问 (职业作家)
用状态变量方法解。
令u = [y1; y2]'  则原方程组变为 du/dt = A*u, 解为u = exp(At)u0 = S^(-1)*exp(Lambda*t)*S*u0。其中S为A的特征向量矩阵，Lambda为A的特征值，u0为初始条件。
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知其然，知其所以然。
6楼2015-07-02 12:42:08
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xingfu1990

新虫 (初入文坛)
送红花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-07-02 05:50:12
求解微分方程组：
\left\{\begin{array}{l}\frac{dy_1}{dt}=-ky_1\\\frac{dy_2}{dt}=ky_1-my_2\end{array}\right.
其中k，m是常数。
解：由\frac{dy_1}{dt}=-ky_1利用变量分离法可知其通解为：
y_1=C_1e^{-kt}
...

非常谢谢！已经按照这个方法解出来了
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7楼2015-07-02 14:01:56
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xingfu1990

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2015-07-01 21:56:20
这个属于常系数线性微分方程组!
可以参考常微分方程方面的书!
系数矩阵:

特征值:-k 和-m
最后待定系数:
可得y1=c1*(m-k)*exp(-k*t);y2=c1*k*exp(-k*t)+c2*exp(-m*t);
其中c1,c1为任意常数!

感谢回复，已解！
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8楼2015-07-02 14:03:33
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xingfu1990

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-07-02 07:12:31
另外一种解法是利用拉普拉斯变换处理

谢谢，已解！
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9楼2015-07-02 14:04:55
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xingfu1990

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 难写啊 at 2015-07-02 10:49:22
楼主的问题是常规可解的情况，
简单的办法两个，1 用maple软件，输入你的方程组，它就给你解出
2. 按照书上的公式解出，步骤也少

谢谢，已解！
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10楼2015-07-02 14:06:15
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