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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » Fredholm积分方程解的稳定性
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tang_zm

新虫 (小有名气)

[求助] Fredholm积分方程解的稳定性 已有1人参与

第二类Fredholm积分方程，是否存在解的不稳定性问题，该如何讨论其解的稳定性？相关文献？谢谢！！
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1楼 2014-06-25 11:25:37
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nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
10楼: Originally posted by tang_zm at 2014-07-05 16:15:48
些许是我没看懂哈，“存在可数离散的lambda值，就是本征值问题求的那些值”，意思就是齐次方程的特征值去和算子范数做比较，就可以判断方程解的稳定性吗？我是学微波的，临时用到，最近才开始看了些积分方程的书。 ...

数学上微分方程的有个适定性问题，指输入条件，比如初始条件，或者非齐次项。稳定性指当这些条件有微小的扰动，解偏离程度也是小的。
比如以电磁场为例子，你解一个圆形区域的二维helmholtz方程，
（-Δ+k2）u=f，其中，k是常数，边界处u为Dirichlet条件，比如g=0。要问当f有微小变动δf，边界值g有扰动δg时，解f是否能得到控制，比如这样
||u||≤const*（||δf||+||δg||）。
按照上面提到的想法。你需要解对应的本征值问题（-Δ+λ）u=0，一般λ是可数的且逐渐变大到无穷，比如说0<λ1<λ2<...。
因此呢对于上头（-Δ+k2）u=f的问题，除了k2等于本征值点意外的所有k，皆可解且唯一，解满足||u||≤const*（||δf||+||δg||）。
当你的k接近本征值点时，这个const变得很大，导致输入的边界精度看似很高，解的误差可能仍很大。就是数值上的不稳定。但理论是稳定的吧。

其实这个PDE问题等价于第二类Fredholm积分方程问题，你用Green函数可表述出来。
还有以上都是个人臆断，参考下即可。文献倒没有
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tang_zm
女靠衣装；男靠金装
11楼2014-07-05 16:37:38
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tang_zm

新虫 (小有名气)
求助，期待大师出现啊
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2楼2014-06-26 10:43:40
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tang_zm

新虫 (小有名气)
顶起，继续求助中。。。
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3楼2014-06-27 09:04:15
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tang_zm

新虫 (小有名气)
持续求助中。。。
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4楼2014-06-30 08:43:32
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
我是纯粹外行, google了一下 " stability of solution of fredholm integral equation of the second kind ", 文献铺天盖地的, 比如,
www.math.uiowa.edu/~atkinson/ftp/Fie_paper.pdf
Matlab算法的
http://homepage.math.uiowa.edu/~atkinson/ftp/Fie_paper.pdf

不过没有看到讨论解的稳定性的(起码题目没有专门指出稳定性研究). 楼主可以自己用百度试试, 或者直接写信问这方向的数学界大牛吧(问导师要个名单,挨个联系)
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tang_zm
We_must_know. We_will_know.
5楼2014-07-01 02:46:49
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tang_zm

新虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
5楼: Originally posted by hank612 at 2014-07-01 02:46:49
我是纯粹外行, google了一下 " stability of solution of fredholm integral equation of the second kind ", 文献铺天盖地的, 比如,
www.math.uiowa.edu/~atkinson/ftp/Fie_paper.pdf
Matlab算法的
h ...

感谢指点，我是学微波技术的，对专业数学可谓一窍不通啊，还望继续。。。
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6楼2014-07-01 14:59:34
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tang_zm

新虫 (小有名气)
呼吁数学大牛出现。。。
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7楼2014-07-05 09:55:08
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nagami

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
tang_zm: 金币+15, ★有帮助, 感谢哈，看得不是很明白，感觉你说到的是解的存在性和唯一性，而我关心的是解的稳定性呢，手头紧，先给出点分再说，期待继续 2014-07-05 16:06:20
没做过调查，但是可以谈谈想法的
如果积分域有界，这个积分算子就是全连续的线性算子，有些也叫紧算子，看作者自己的定义了。比如
C[a,b]->C[a,b]等。有一个Fredholm二择一性。就是说第二类Fredholm方程表述为y=x-F（x），F就是积分算子。Fredholm二择一性说要么x-F（x）有平凡解，要么对于所有y存在唯一可解。当然Fredholm二择一性是针对normed linear space。
进一步，考虑算子F（x）的谱问题，无穷维空间紧算子的本征谱要么是0，要么是有限集，要么是以0为聚点的无限集。
所以，可以猜测第二类Fredholm方程一旦可解，那解对参数的依赖应该是连续的；不过一旦参数接近本征值点，数值求解，倒会产生数值上的不稳定，接近奇异了。
如果积分域无界，需要额外施加无穷远的等度衰减性质。关于这类积分算子成为紧算子的条件需要查查资料了。
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女靠衣装；男靠金装
8楼2014-07-05 10:37:49
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nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by nagami at 2014-07-05 10:37:49
没做过调查，但是可以谈谈想法的
如果积分域有界，这个积分算子就是全连续的线性算子，有些也叫紧算子，看作者自己的定义了。比如
C->C等。有一个Fredholm二择一性。就是说第二类Fredholm方程表述为y=x-F（x） ...

“Fredholm二择一性说要么x-F（x）有非平凡解，要么对于所有y存在唯一可解”
要不整理下：第二类Fredholm积分方程有个参数lambda，如果积分域是有界的。积分核连续的，那么一致连续且有界，平方可积是明显的。那在Hilbert空间中讨论，比如平方可积函数空间L2（可分的），这是紧线性算子。比连续函数空间讨论复杂点。但估计是没错的。
这样，当lambda小于某个正值（算子的范数），这样的第二类Fredholm积分方程都存在唯一解，稳定的。
lambda大于某个正值，在这个区域上，存在可数离散的lambda值，就是本征值问题求的那些值。当lambda接近这些本征值，数值稳定性会越来越差。不过所有可解的lambda值，应该是个开集。这样解具有连续依赖参数的特性。
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女靠衣装；男靠金装
9楼2014-07-05 11:40:12
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tang_zm

新虫 (小有名气)
引用回帖:
9楼: Originally posted by nagami at 2014-07-05 11:40:12
“Fredholm二择一性说要么x-F（x）有非平凡解，要么对于所有y存在唯一可解”
要不整理下：第二类Fredholm积分方程有个参数lambda，如果积分域是有界的。积分核连续的，那么一致连续且有界，平方可积是明显的。那在 ...

些许是我没看懂哈，“存在可数离散的lambda值，就是本征值问题求的那些值”，意思就是齐次方程的特征值去和算子范数做比较，就可以判断方程解的稳定性吗？我是学微波的，临时用到，最近才开始看了些积分方程的书。在我看的只有关于第I类Fredholm积分方程解的稳定性的问题呢。您上面所说的有对应参考文献吗，希望得到更详细的指点，谢谢
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10楼2014-07-05 16:15:48
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