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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » Fredholm积分方程解的稳定性
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nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
30楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-04-02 20:24:13
仅就虫友nagami提出的例子做个补充：

方程（-Δ+k^2）u=f，x∈Ω；
边界 u=g，x属于Ω的边界。

如果Ω是一般的平面区域，g连续，则此问题未必存在二次连续可微的解；
哪怕Ω的边界足够好，也只能存在Holde ...

清明到了，贴子也扫墓？。。。
这个我和楼主很早之前一起讨论过了，这个是PDE反演的不适定问题，需要采用正则化技术处理（也看具体问题具体分析），比如第一类Fredholm积分方程，这是紧算子方程，Ax=b，该方程不存在有界逆，故条件数无限大，这是内在的非数值不稳定因素。
假如存在有解逆，则复合算子是恒等紧算子，与无限维空间的紧性性质矛盾。楼主以前在文献里看到的第一类Fredholm积分方程不适定说明，就是指这个，只是没有数学上的分析，故发问。
到此，楼上必定一目了然了
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女靠衣装；男靠金装
31楼2015-04-03 09:10:31
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nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
30楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-04-02 20:24:13
仅就虫友nagami提出的例子做个补充：

方程（-Δ+k^2）u=f，x∈Ω；
边界 u=g，x属于Ω的边界。

如果Ω是一般的平面区域，g连续，则此问题未必存在二次连续可微的解；
哪怕Ω的边界足够好，也只能存在Holde ...

第二类Fredholm方程，线性的，结果很清楚。非线性的，小参数下可解性不动点定理给出，大参数下，分歧理论或者拓扑度理论都可以反映出一些信息，etc。
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女靠衣装；男靠金装
32楼2015-04-03 09:17:05
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
引用回帖:
32楼: Originally posted by nagami at 2015-04-03 09:17:05
第二类Fredholm方程，线性的，结果很清楚。非线性的，小参数下可解性不动点定理给出，大参数下，分歧理论或者拓扑度理论都可以反映出一些信息，etc。...

不，我仅仅论及虫友这个例子的解的存在性。
在PDE理论中，此方程没法有“max”范数意义下的最大模估计的。
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PreferenceforMathematics
33楼2015-04-03 09:38:27
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nagami

木虫 (正式写手)
引用回帖:
33楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-04-03 09:38:27
不，我仅仅论及虫友这个例子的解的存在性。
在PDE理论中，此方程没法有“max”范数意义下的最大模估计的。...

嗯，明白，做法很严谨，这类PDE在Holder空间或者Sobolev空间空间对下，信息的输入与结果输出才能完美的构成一一映射。
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女靠衣装；男靠金装
34楼2015-04-03 09:57:17
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