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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » Fredholm积分方程解的稳定性
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nagami

木虫 (正式写手)
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10楼: Originally posted by tang_zm at 2014-07-05 16:15:48
些许是我没看懂哈，“存在可数离散的lambda值，就是本征值问题求的那些值”，意思就是齐次方程的特征值去和算子范数做比较，就可以判断方程解的稳定性吗？我是学微波的，临时用到，最近才开始看了些积分方程的书。 ...

数学上微分方程的有个适定性问题，指输入条件，比如初始条件，或者非齐次项。稳定性指当这些条件有微小的扰动，解偏离程度也是小的。
比如以电磁场为例子，你解一个圆形区域的二维helmholtz方程，
（-Δ+k2）u=f，其中，k是常数，边界处u为Dirichlet条件，比如g=0。要问当f有微小变动δf，边界值g有扰动δg时，解f是否能得到控制，比如这样
||u||≤const*（||δf||+||δg||）。
按照上面提到的想法。你需要解对应的本征值问题（-Δ+λ）u=0，一般λ是可数的且逐渐变大到无穷，比如说0<λ1<λ2<...。
因此呢对于上头（-Δ+k2）u=f的问题，除了k2等于本征值点意外的所有k，皆可解且唯一，解满足||u||≤const*（||δf||+||δg||）。
当你的k接近本征值点时，这个const变得很大，导致输入的边界精度看似很高，解的误差可能仍很大。就是数值上的不稳定。但理论是稳定的吧。

其实这个PDE问题等价于第二类Fredholm积分方程问题，你用Green函数可表述出来。
还有以上都是个人臆断，参考下即可。文献倒没有
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tang_zm
女靠衣装；男靠金装
11楼2014-07-05 16:37:38
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nagami

木虫 (正式写手)
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11楼: Originally posted by nagami at 2014-07-05 16:37:38
数学上微分方程的有个适定性问题，指输入条件，比如初始条件，或者非齐次项。稳定性指当这些条件有微小的扰动，解偏离程度也是小的。
比如以电磁场为例子，你解一个圆形区域的二维helmholtz方程，
（-Δ+k2）u=f ...

这个估计应该这样||δu||≤const*（||δf||+||δg||）
如果你对上述分析不放心，你可以查查依赖参数的Banach不动点定理。
你的领域一般处理高维的Maxwell方程，所以Green函数多半奇异，你得在L2中讨论第二类Fredholm积分方程问题，用Banach不动点定理可以给出一个结果，当积分核函数满足平方可积条件后，所得解是稳定的，不过第二类Fredholm积分方程方程中的λ不能太大。
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女靠衣装；男靠金装
12楼2014-07-05 16:55:12
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nagami

木虫 (正式写手)
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12楼: Originally posted by nagami at 2014-07-05 16:55:12
这个估计应该这样||δu||≤const*（||δf||+||δg||）
如果你对上述分析不放心，你可以查查依赖参数的Banach不动点定理。
你的领域一般处理高维的Maxwell方程，所以Green函数多半奇异，你得在L2中讨论第二类Fred ...

这是那个简单的推论
Fredholm积分方程解的稳定性
11.jpg
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tang_zm
女靠衣装；男靠金装
13楼2014-07-05 16:56:29
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tang_zm

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11楼: Originally posted by nagami at 2014-07-05 16:37:38
数学上微分方程的有个适定性问题，指输入条件，比如初始条件，或者非齐次项。稳定性指当这些条件有微小的扰动，解偏离程度也是小的。
比如以电磁场为例子，你解一个圆形区域的二维helmholtz方程，
（-Δ+k2）u=f ...

太厉害了，连我们的电磁场你都搞的这么透彻。你应该应助回贴呢，要不我怎么送金币呢？呵呵
概括一下您上面说的，就是微分方程存在不稳定性问题，由于可以通过格林函数将微分方程化为积分方程，故可将通过微分方程不稳定性讨论方法，用于积分方程稳定性讨论？还有就是您说的
“就是数值上的不稳定。但理论是稳定的吧。”这个怎么理解呢？
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14楼2014-07-06 10:11:18
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tang_zm

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13楼: Originally posted by nagami at 2014-07-05 16:56:29
这是那个简单的推论

11.jpg
...

您说的banach不动点定理，哪本书介绍得浅显易懂些呢，还有上面那个公式是出自哪本书的呢，我想对应去找找看，谢谢！
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15楼2014-07-06 10:19:59
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nagami

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
tang_zm: 金币+15, ★★★很有帮助, 讲解细致透彻 2014-07-06 18:39:07
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15楼: Originally posted by tang_zm at 2014-07-06 10:19:59
您说的banach不动点定理，哪本书介绍得浅显易懂些呢，还有上面那个公式是出自哪本书的呢，我想对应去找找看，谢谢！...

看下这个吧http://mathworld.wolfram.com/Gre ... entialEquation.html
理论上k不等于本征值，就不会要问题。这很好理解，就像你求Hilbert矩阵的逆，理论上行列式非零，但是条件数很大，一般的算法都会求逆失败，需要特别的针对性算法。
书的话，我建议你看zeidler的nonlinear functional analysis这套第一本fixed pointed theorem就是讨论了这些方程。数学不需要特别高深，看前几章就好。
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16楼2014-07-06 10:36:52
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tang_zm

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16楼: Originally posted by nagami at 2014-07-06 10:36:52
看下这个吧http://mathworld.wolfram.com/GreensFunctionHelmholtzDifferentialEquation.html
理论上k不等于本征值，就不会要问题。这很好理解，就像你求Hilbert矩阵的逆，理论上行列式非零，但是条件数很大，一般 ...

已经大致看了下，但我的理解是banach不动点定理主要是确定解的存在性与唯一性的问题呢，这和解的稳定性应该是两套不同的理论：只有唯一解不能说明方程解就稳定了，比如在边界条件变化前有唯一解a0，在边界或者激励有个微小变化时，得到一个新解a1（也是唯一的）,如果a1远远大于a0，则说明此方程不稳定；同样，如果最初的方程解是不唯一的（多解），在边界或者激励有个微小变化时，得到的解也不唯一（多解，但是与最初的解相对应，相差很微小），不能说明此方程的解就不稳定呢。不知我的理解正确与否？谢谢！
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17楼2014-07-06 19:04:29
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tang_zm

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11楼: Originally posted by nagami at 2014-07-05 16:37:38
数学上微分方程的有个适定性问题，指输入条件，比如初始条件，或者非齐次项。稳定性指当这些条件有微小的扰动，解偏离程度也是小的。
比如以电磁场为例子，你解一个圆形区域的二维helmholtz方程，
（-Δ+k2）u=f ...

请问您在l楼上提到的“当你的k接近本征值点时，这个const变得很大”，是指const一定会变得很大，还是可能会变得很大呢？看来要说明解的不稳定性应该要从这个const和特征值上面去想法了，特征值有具体可表征的东西，但是这个const如何表征呢？谢谢
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18楼2014-07-06 19:09:12
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nagami

木虫 (正式写手)
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17楼: Originally posted by tang_zm at 2014-07-06 19:04:29
已经大致看了下，但我的理解是banach不动点定理主要是确定解的存在性与唯一性的问题呢，这和解的稳定性应该是两套不同的理论：只有唯一解不能说明方程解就稳定了，比如在边界条件变化前有唯一解a0，在边界或者激励 ...

你的想法很正确，理解也是到位的。这时需要对banach不动点定理做一些扩展，首先你能明显判断有些事实，比如积分方程的非齐次项是{+g（x』)}，注意加法运算是连续的。也就是说输入条件是连续作用的事实，而且都是线性的。连续加线性，能得到这个结果想必也是很合理的，||δu||≤C（||δf||+||δg||），C》0
Fredholm积分方程解的稳定性-1
2014-07-06 19:24:49的屏幕截图.jpg
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19楼2014-07-06 19:29:13
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nagami

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
tang_zm: 金币+15, ★★★很有帮助, 谢谢 2014-07-07 11:47:24
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18楼: Originally posted by tang_zm at 2014-07-06 19:09:12
请问您在l楼上提到的“当你的k接近本征值点时，这个const变得很大”，是指const一定会变得很大，还是可能会变得很大呢？看来要说明解的不稳定性应该要从这个const和特征值上面去想法了，特征值有具体可表征的东西， ...

你可以这样理解，上次发你的网址，注意最后两行。对于可分HIlbert空间，紧自伴算子可以进行谱分解。也就是网页上所说的函数项级数展开，这些都是特征函数，对应其特征值。当你的积分方程的积分核对称时，就是自伴的。Green函数也是对称的。
注意最后公式，当k接近特征值kn时，会出现一阶奇性的增长。你可以大胆猜测这个事实是普遍发生的。
Fredholm积分方程解的稳定性-2
2014-07-06 19:30:21的屏幕截图.jpg
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20楼2014-07-06 19:35:25
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