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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 如何求解带有固定参数的超定方程组？
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)

[交流] 如何求解带有固定参数的超定方程组？ 已有2人参与

请教大家一个问题：求解超定方程组 Y={B}X，B是n行9列的系数矩阵，X是9行一列的参数矩阵，Y是n行一列的矩阵， 可以使用最小二乘法求解这个超定方程组。现在有一个问题就是，在参数矩阵X的9个参数中，其中两个参数的值固定，请问题应该怎样计算这个超定方程组的参数啊？如图片中所示，da和df两个参数的值是已知的，对于这个超定方程组应该怎样求解？
如何求解带有固定参数的超定方程组？
方程.JPG
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1楼 2013-06-02 14:45:15
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
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使用拉格朗日乘子法 (Lagrangian multipler)。把约束条件乘以拉格朗日乘子加入极小函数里，求极值；然后按最小二乘做即可。
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2楼2013-06-03 22:16:51
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leungzipang

银虫 (小有名气)
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代入已知的值，改为求解7个参数的超定方程。
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3楼2013-06-05 13:44:41
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
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如果参数已知，那就带进去，降低方程阶数。但经常是，只有约束条件，而不是固定参数的情况。那就要用乘子法 （ Lagrangian multiplier）。
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5楼2013-06-15 07:04:41
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)
谢谢二楼和三楼回复，三楼的方法试过，求解参数结果使用参数验证时，误差偏大。二楼提供的方法对我来说是新方法，查下资料看一下。
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4楼2013-06-15 06:51:43
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)
其中两个参数已知，即两个椭球长半轴和扁率差是已知的，我尝试了把已知带进方程，降阶为求七参数，根据求解的参数结果使检核点来检验求解出的参数精度，误差过大。这有可能是重合点选取不合理，也有可能是求解方法不正确，故来求助。注，这是用于坐标转换的方程。
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6楼2013-06-15 07:20:18
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)
PiPPi6，你好，你说的拉格朗日乘子法是多应用于求带约束条件的线性方程组吗?
像帖子中描述的问题，求解方法除了带入已知参数外，在数学上有没有其他专门的方法呢?就像牛顿迭代法求迭代问题一样。
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7楼2013-06-15 07:28:41
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

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7楼: Originally posted by fltjzit at 2013-06-15 07:28:41
PiPPi6，你好，你说的拉格朗日乘子法是多应用于求带约束条件的线性方程组吗?
像帖子中描述的问题，求解方法除了带入已知参数外，在数学上有没有其他专门的方法呢?就像牛顿迭代法求迭代问题一样。

如果是带约束，那么我知道的就是拉格朗日乘子法。你4楼中所说带入已知参数后误差大，这就要问 你所说已知，是什么意思？也许你带入的不那么准确？如果是不确定性带来的影响，那别人帮不了你。 如果只真的约束（包括带入已知量，这是乘子法的一个特例），那么使用拉格朗日乘子法只会提高精度。其他的我不知道，我是实用主义者，有一个管用就行了。我不收藏算法。newton 迭代是来求非线性的，和这无关。
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8楼2013-06-15 08:51:19
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)
pippi6，你好，不好意思，是我在5楼回复中没有说明清楚。我意思是把两个已经知道值的参数即da和df，代入这个方程组，将这个方程组降阶为七参数，再用最小二乘法求出这七个参数解。然后再用没有参与计算这七个参数的点座标值来检验使用这七个参数进行坐标转换时是否达到足够的精度。
这一种方法我已尝试过，结果不是很理想，原因需进一步探究。
今天在思考这个问题时，能否可以这样做:
因为有足够多的重合点(在两个坐标系中都有准确的坐标值)，这样忽略两个已知的参数，将重合点坐标直接代入方程组，用最小二乘法求出九个参数值，再舍弃已知两个参数的最小二乘解，采用剩余的七个参数来进坐标系转换。
这种方法从技术上可以走的通，不知从理论是否能解释的通?

[ Last edited by fltjzit on 2013-6-15 at 16:34 ]
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9楼2013-06-15 16:29:39
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

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引用回帖:
9楼: Originally posted by fltjzit at 2013-06-15 16:29:39
pippi6，你好，不好意思，是我在5楼回复中没有说明清楚。我意思是把两个已经知道值的参数即da和df，代入这个方程组，将这个方程组降阶为七参数，再用最小二乘法求出这七个参数解。然后再用没有参与计算这七个参数的 ...

ok， 首先让我来理解你的背景问题。你是说，使用一组坐标值（当然多于7组），用最小二乘来拟合你的系数（解）；然后用这组系数来计算新的坐标值，和另一组的坐标测量数据来比较，以检验拟合的可靠性或准确性，是吗？

如果是这样，问题就在于，两组样本的相关性。首先，第一组样本应该足够大，这样训练出来的参数才具有统计代表性；第二，两组样本要在同一条件下取得，才有一致性。总之，训练样本的取法至关重要。

你的后一段话看不懂。两个坐标系？隔行如隔山啊。你是做测绘的？
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10楼2013-06-15 17:10:05
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