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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 如何求解带有固定参数的超定方程组？
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)
  感谢你的回复。向你简要介绍一下这个问题的背景。
     如你所猜测的，我是做测绘和地理信息系统以及遥感的。帖子中描述的问题就是计算两个坐标系之间的转换参数，主要应用与不同坐标系之间的转换。
      就以我国来说，目前法定应该使用坐标系是2000国家大地坐标系，但是由于历史问题，很多地方还在使用1954北京坐标系和西安1980坐标系，还有现在大家经常使用GPS，但是GPS计算出来的坐标值是基于WGS-84坐标系。由于不同坐标系采用的椭球不同（即将地球看做是一个椭球，不同椭球长半轴和短半轴不同），导致不同坐标系的坐标值不能通用。也就是说，对于地球上同一个点，在不同的坐标系中坐标值是不同的。
      这样就产生了一个问题，如何将一个坐标系中的坐标值转换到另外一个坐标系中的坐标值？比如说，将上海在西安1980坐标系中坐标值（经度，纬度）转换到2000国家大地坐标系中的坐标值（经度，纬度）。
       为了解决这个问题，在测绘上就是使用重合点（在两个坐标系中均有坐标值）来计算两个坐标系之间的转换参数，重合点的数量根据不同的转换方法需要的数量不同，就像帖子中描述的转换方法，该方程中有七个参数，每一个重合点可以列两个方程，那么，至少需要4个点（即8个方程式）才能计算出转换参数。
    为了检验转换参数是否达到足够精度，通常是在计算出转换参数后，再使用检核点（检核点也是在新旧两个坐标系中均有坐标值）来进行检验。检验方法是将检核点在旧坐标系中的坐标值和计算出的转换参数带入坐标转换方程，计算出检核点在新坐标系中的坐标值，将计算出的坐标值与检核点在新坐标系中已有的值进行比较，来检验使用转换参数进行坐标转换市的转换精度。
    为了提高转换精度，通常选用重合点的数量多于4个，这种情况下方程的数量大于参数的个数，这样就需要使用最小二乘法来计算参数值。
关于你说的训练样本的问题。就本帖来说，也就是重合点是否做够多，以及重合点在新旧两个坐标系中是否具有同样的精度，就我所求助的问题来说，重合点的数量是足够多，重合点在新旧两个坐标系中的坐标的精度也是一致的，只能假设是一致的，如果不一致，坐标转换根本就进行不下去。
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11楼2013-06-16 13:39:32
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
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11楼: Originally posted by fltjzit at 2013-06-16 13:39:32
感谢你的回复。向你简要介绍一下这个问题的背景。
     如你所猜测的，我是做测绘和地理信息系统以及遥感的。帖子中描述的问题就是计算两个坐标系之间的转换参数，主要应用与不同坐标系之间的转换。
      就以 ...

嗯，很有意思的课题。
假定你有N=1000个测绘重合点，在两组坐标系中都有测量值。那么你拿出M=20个作为最小二乘拟合的条件，然后用其他N-M=950个点作为转换精度检验（或干脆用N作为检验样本）。结果可能不理想。然后你增加M到100，看看新的结果。我们知道，M增加N时，结果最好。但是，如果两组数据有足够精度的话，有可能会出现一个优选的训练样本数M0，在M> M0后，检验精度不再发生显著变化。 M0的大小，量化了两组数据的可转化性。所以，你的第一个问题就是要找出这样的M0。把检测误差对于M的依赖画出来看看，这样容易判断M0。当然，前M个样本应该在地理上是尽量均布的。检测样本可以包括训练样本或不包括训练样本。因为要做到 M-> N ，所以也许检测样本应该包括训练样本。如果，检测误差随M直线上升，直到M=N。那说明两种测量之间有系统误差？或是拟合上出了问题？

我是不知深浅，跑到另一个领域里指手画脚。冒昧妄評之处还望见谅！
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12楼2013-06-16 14:30:39
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)
送红花一朵
pippi6，你好！你很谦虚啊！
你猜测的很对，就坐标转换来说，随着样本数量M的增加（即选取的重合点数量不断增加），检验精度将不再发生显著变化，这种现象已经有专业文献说明，但是我还没有试验。非常感谢你，我将会按照你说的方法，把检测误差对于M的依赖画出来，找出M0，非常感谢你！不知你是哪个行业的？希望能够跟你交个朋友！
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13楼2013-06-16 17:21:21
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
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13楼: Originally posted by fltjzit at 2013-06-16 17:21:21
pippi6，你好！你很谦虚啊！
你猜测的很对，就坐标转换来说，随着样本数量M的增加（即选取的重合点数量不断增加），检验精度将不再发生显著变化，这种现象已经有专业文献说明，但是我还没有试验。非常感谢你，我将 ...

谢谢夸奖。如果说猜对了专业文献的论述，实在是很运气。我做工业计算咨询。很愿意和做具体应用的朋友讨论。
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14楼2013-06-16 19:33:33
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)
工业计算咨询？这属于哪个行业啊？我第一次听说这个工业，让你见笑了。
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15楼2013-06-17 06:49:06
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
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15楼: Originally posted by fltjzit at 2013-06-17 06:49:06
工业计算咨询？这属于哪个行业啊？我第一次听说这个工业，让你见笑了。

为工业界提供数值计算服务
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16楼2013-06-17 08:41:14
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)
专业搞计算服务，那数学一定很厉害，这对于做科研帮助很大，佩服数学好的人，脑子聪明。
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17楼2013-06-18 08:17:30
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)
pippi6，你好，再向你请教个问题，
还是这个方程组的问题。我选取了54个在两个坐标系中均有坐标值的重合点，用这54个点和这个公式已经有别的单位进行解算过，计算出来的精度大约是0.0003秒，秒是角度的单位。
但我解算出来的精度差了三个数量级，我是使用Python的numpy中的最小二乘法。
请问pippi6兄，我计算的问题可能会出现在哪个步骤导致精度这么差呢?
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18楼2013-06-21 06:47:26
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
★
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18楼: Originally posted by fltjzit at 2013-06-21 06:47:26
pippi6，你好，再向你请教个问题，
还是这个方程组的问题。我选取了54个在两个坐标系中均有坐标值的重合点，用这54个点和这个公式已经有别的单位进行解算过，计算出来的精度大约是0.0003秒，秒是角度的单位。
但我 ...

很难凭空猜测是什么地方出了错。Python的numpy 应该没问题，但怎么用就有变数。如果相信另一单位的结果，那样的话就是这边出了问题。

你这应该是非线性最小二乘，对吧？你要是愿意的话，可以上传你的数据，fitting function和fitting parameters，或私信我。我来做一次，和你比较。为安全计，你可以隐去实用的地名之类，这样就是一个纯粹的最小二乘问题了。至少我们之间可以比对结果，帮助你找到可能的错误。如果我们对上，就有理由相信另一单位和你的数据或方法有区别。
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fltjzit
19楼2013-06-21 08:46:27
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fltjzit

铁虫 (初入文坛)
送红花一朵
好的，我中午给你发个邮件，把相关数据发给你。
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20楼2013-06-21 09:07:54
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