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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助如何计算一个定积分
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zhaoliang270

铁杆木虫 (正式写手)

[求助] 求助如何计算一个定积分已有2人参与

求以下定积分的闭合表达式，其中a﹥0,b﹥0.
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1楼2015-05-12 20:39:55
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zhaoliang270: 金币+15, ★★★很有帮助, 很有帮助 2015-05-13 19:52:18
用MATLAB算一下!
>> syms a b x
>> int(1/(a*x^4+b)^2,x,0,1)
ans =
1/32*(8*b+3*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*log(-(1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)+(b/a)^(1/2))/(-(b/a)^(1/2)-1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)))*a+3*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*log(-(1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)+(b/a)^(1/2))/(-(b/a)^(1/2)-1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)))*b+6*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*atan((2^(1/2)+(b/a)^(1/4))/(b/a)^(1/4))*a+6*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*atan((2^(1/2)+(b/a)^(1/4))/(b/a)^(1/4))*b+6*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*atan((2^(1/2)-(b/a)^(1/4))/(b/a)^(1/4))*a+6*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*atan((2^(1/2)-(b/a)^(1/4))/(b/a)^(1/4))*b)/b^2/(a+b)
>>
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
2楼2015-05-12 23:11:03
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
pippi6: 金币+10, 富有教学型 2015-05-13 21:31:33
zhaoliang270(feixiaolin代发): 金币+5 2015-05-14 23:16:12
引用回帖:
2楼: Originally posted by wurongjun at 2015-05-12 23:11:03
用MATLAB算一下!
>> syms a b x
>> int(1/(a*x^4+b)^2,x,0,1)
ans =
1/32*(8*b+3*(b/a)^(1/4)*2^(1/2)*log(-(1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)+(b/a)^(1/2))/(-(b/a)^(1/2)-1+(b/a)^(1/4)*2^(1/2)))*a+3*(b/a ...

Wurongjun专家已经有清晰完备的解答, 我来画蛇添足一下.
如果让, 那么原来定积分等于 (y=cx)
.

这个被积函数的原函数见图, 你也可以直接验证 某个函数求导等于被积式.
求助如何计算一个定积分
integral.png


求助如何计算一个定积分-1
derivative.png
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We_must_know. We_will_know.
3楼2015-05-13 01:26:16
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dapinmin

至尊木虫 (著名写手)
是不是可以尝试用数学手册的积分表来查找？
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4楼2015-05-13 02:56:34
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
有理函数的积分，化成部分分式计算
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
5楼2015-05-13 03:25:21
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zhaoliang270: 金币+5 2015-05-14 08:24:46
我提个最笨的但也最容易理解的解题想法，也不知对不对。就是先令a*x^4+b=0，解出四个根x1、x2、x3、x4。再用待定系数法将被积分式分解为数个形如p/(x-q)^2和p/(x-q)的形式的和并求出各个p和q的值（共各有四个不同的p和q，p、q均为复数）。由于各个复数是成对共轭的，最后经过复变函数计算的处理，就能够得到实数形式的函数。然后即可求出原被积函数的不定积分来，最后再代入积分上下限即可求得定积分的值。
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6楼2015-05-13 20:55:55
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zhaoliang270

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2015-05-13 20:55:55
我提个最笨的但也最容易理解的解题想法，也不知对不对。就是先令a*x^4+b=0，解出四个根x1、x2、x3、x4。再用待定系数法将被积分式分解为数个形如p/(x-q)^2和p/(x-q)的形式的和并求出各个p和q的值（共各有四个不同的 ...

这个方法具有普适性,关键是怎么将复数形式转化成实数形式的函数.
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7楼2015-05-14 08:24:18
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孤羽

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2015-05-13 01:26:16
Wurongjun专家已经有清晰完备的解答, 我来画蛇添足一下.
如果让c^4=\frac{a}{b}, 那么原来定积分等于 (y=cx)
\frac{1}{cb^2}\int_{0}^{c}\frac{dy}{(y^4+1)^2}.

这个被积函数的原函数见图, 你也可以直接验证 ...

亲，能告知用的是什么软件吗？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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8楼2015-05-15 17:46:49
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
Mathematica软件'可以去网站www.wolframalpha.com有在线版本直接用

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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We_must_know. We_will_know.
9楼2015-05-15 23:17:27
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