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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 函数 f 积分最小，是否可以说 f平方 积分也最小？
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martialvv

铁虫 (初入文坛)

[求助] 函数 f 积分最小，是否可以说 f平方 积分也最小？已有3人参与

假设一个函数 f(a,b,t)>0，其中 a,b,t 是三个变量，a>=0, b>=0, t属于[0,1].
我们看f 关于t在0到1上的积分，如果我们知道当a,b取某个值 a0,b0时，f关于t的积分值是最小的，也就是说这个积分值要比a,b取其他值时小，我们是否可以说当a=a0,b=b0时，f平方 关于t的积分值也是最小的？怎么证明？
如果反过来，我们知道当a=a0,b=b0时，f平方 关于t的积分值最小，是否可以说这时f关于t的积分值也是最小的？

[ Last edited by martialvv on 2014-3-10 at 17:27 ]
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Boncourage!
1楼2014-03-10 17:26:15
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jabile

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不能，
比如，f(t)=2,g(t)=5x^2
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2楼2014-03-10 18:32:32
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martialvv

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by jabile at 2014-03-10 18:32:32
不能，
比如，f(t)=2,g(t)=5x^2

我觉得这个不能构成反例，我说f关于t的积分值是最小的是说没有其他的a b值能使它的积分更小（如果相等是可以接受的），你这两个函数明显不符合，比如f(t)对所有的ab值积分都是一样的。
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Boncourage!
3楼2014-03-10 19:54:56
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elastic

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
martialvv: 金币+5 2014-03-11 16:47:14
取y=a*x+b,则T=int(y^2,0,1),s=int(y,0,1),T与s去极小值得条件不同。具体做法参看高等数学的多元函数求极值法。希望对你有帮助。
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衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴
4楼2014-03-10 21:10:39
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mathstudy

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
martialvv: 金币+15 2014-03-11 16:47:07
g(a,b)=int_0^1f(a,b,t) dt; G(a,b)=int_0^1f^2(a,b,t) dt
g在(a0,b0)处取得极值=》int_0^1f '_a dt=0 和 int_0^1f '_b dt=0

G在(a0,b0)处取得极值=》int_0^1 2*f *f '_a dt=0 和 int_0^1 2*f*f '_b dt=0
二者没有明显的必然联系...
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5楼2014-03-10 21:37:20
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martialvv

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by mathstudy at 2014-03-10 21:37:20
g(a,b)=int_0^1f(a,b,t) dt; G(a,b)=int_0^1f^2(a,b,t) dt
g在(a0,b0)处取得极值=》int_0^1f '_a dt=0 和 int_0^1f '_b dt=0

G在(a0,b0)处取得极值=》int_0^1 2*f *f '_a dt=0 和 int_0^1 2*f*f '_b dt=0
二者 ...

谢谢，那 f 需要满足什么条件，才能得到g和G在同一点处取得极值呢？
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Boncourage!
6楼2014-03-10 23:59:00
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mathstudy

金虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by martialvv at 2014-03-10 23:59:00
谢谢，那 f 需要满足什么条件，才能得到g和G在同一点处取得极值呢？...

这个 很难分析， 上面的两个等式 都是 积分等于零，而想要得出 f关于a，b满足什么性质不容易；因为 这相当于 从全局性质（积分是全局(平均）性质）推导出个别性质； 并且这是多元函数； 只有视情况而定，没有统一的结论； 个人分析，仅供参考！！
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7楼2014-03-11 10:59:32
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