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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教几个关于特征值的问题。
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全全fly

新虫 (小有名气)

[求助] 请教几个关于特征值的问题。已有2人参与

今天遇到了几个特征值的问题，想不动了，向虫友们求助。。
1.   AB的特征值与A的特征值和B的特征值有什么关系啊？谱半径呢？
2.   I+diag(t)M特征值与I,diag(t)和M特征值的关系是什么？（I单位矩阵，diag(t)所有对角元素是正的对角阵。M是正定矩阵）
谢啦!!☆⌒(*＾-゜)v
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我啥都不懂
1楼2014-12-04 20:11:42
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★ ★
全全fly(feixiaolin代发): 金币+3 2014-12-13 15:39:26
1. 任取可逆矩阵A,  那么I 的特征值和 A及A^{-1} 的特征值  毫无关系.

2. I +DM 的特征值 当然是 1+(DM特征值)

可是由于所有的矩阵A都在可以找到一个酉矩阵U, 使的 U^T * A * U = D * M

其中D 是对角阵, M 是对称阵, 所以 依然是 毫无关系
条件"diag(t)所有对角元素是正的对角阵。M是正定矩阵" 基本上没用.
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We_must_know. We_will_know.
2楼2014-12-11 06:28:31
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by zaq123321 at 2014-12-11 10:33:24
1. I only know the product of the eigenvalues of AB equals th product of eigenvalues of A and eigenvalues of B.

考虑A=diag(a, a^{-1}), 2x2矩阵B=(a^{-1}+c, c; a-a^{-1}-c, a-c)

那么A 和B 的特征值都是 a, a^{-1}.

若,  那么AB 的特征值是 x 与 x^{-1}.

由x 的任意性, 任何想从a 推出 AB 的特征值 的努力都是徒劳的 (除了知道行列式为1).
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We_must_know. We_will_know.
5楼2014-12-13 03:33:59
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
★ ★
feixiaolin: 金币+2 2014-12-14 07:54:54
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12楼: Originally posted by zaq123321 at 2014-12-13 20:49:49
Can you give the proof of

所有的矩阵A都在可以找到一个酉矩阵U, 使的 U^T * A * U = D * M

其中D 是对角阵, M 是对称阵
...

我不知道具体证明'  Wikipedia 上 symmetric matrix 中有一节提到该命题'
还有索引'引文中说这是Frobenius的结果'应该挺靠谱的
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We_must_know. We_will_know.
13楼2014-12-14 04:55:39
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)
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13楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-14 04:55:39
我不知道具体证明'  Wikipedia 上 symmetric matrix 中有一节提到该命题'
还有索引'引文中说这是Frobenius的结果'应该挺靠谱的...

Can you post the webpage? I searched wikipedia but didn't find it.

http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_matrix
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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。
14楼2014-12-14 06:58:47
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
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2楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-11 06:28:31
1. 任取可逆矩阵A,  那么I 的特征值和 A及A^{-1} 的特征值  毫无关系.

2. I +DM 的特征值 当然是 1+(DM特征值)

可是由于所有的矩阵A都在可以找到一个酉矩阵U, 使的 U^T * A * U = D * M

其中D 是对角阵,  ...

关于第一题， 我想也许楼主真正想问的是 “AB 的特征值 是否就是A的特征值乘以B的特征值” 这样一类的关系。
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3楼2014-12-11 07:31:08
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

1. I only know the product of the eigenvalues of AB equals th product of eigenvalues of A and eigenvalues of B.
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4楼2014-12-11 10:33:24
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)
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5楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-13 03:33:59
考虑A=diag(a, a^{-1}), 2x2矩阵B=(a^{-1}+c, c; a-a^{-1}-c, a-c)

那么A 和B 的特征值都是 a, a^{-1}.

若c=\frac{x+x^{-1}-2}{a-a^{-1}},  那么AB 的特征值是 x 与 x^{-1}.

由x 的任意性, 任何想从a 推 ...

What's your point? Do you mean my claim is wrong or you want to provide more information?

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6楼2014-12-13 04:42:47
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询
★
全全fly(feixiaolin代发): 金币+1 2014-12-13 15:40:01
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5楼: Originally posted by hank612 at 2014-12-13 03:33:59
考虑A=diag(a, a^{-1}), 2x2矩阵B=(a^{-1}+c, c; a-a^{-1}-c, a-c)

那么A 和B 的特征值都是 a, a^{-1}.

若c=\frac{x+x^{-1}-2}{a-a^{-1}},  那么AB 的特征值是 x 与 x^{-1}.

由x 的任意性, 任何想从a 推 ...

嗯，非常有意思的例子。我也验证了一下，确实， AB 的特征值不必是A的特征值乘以B的特征值。
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7楼2014-12-13 09:30:57
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)
★
feixiaolin: 金币+1 2014-12-13 15:39:56
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7楼: Originally posted by pippi6 at 2014-12-13 09:30:57
嗯，非常有意思的例子。我也验证了一下，确实， AB 的特征值不必是A的特征值乘以B的特征值。...

Do you mean my claim is wrong? Or want to add more information?

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8楼2014-12-13 12:45:43
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pippi6

铁杆木虫 (著名写手)

工程和科学数值计算咨询

【答案】应助回帖

★
feixiaolin: 金币+1 2014-12-13 20:34:40
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8楼: Originally posted by zaq123321 at 2014-12-13 12:45:43
Do you mean my claim is wrong? Or want to add more information?
...

Well, I am afraid so, if your do claim that product of the eigenvalues of AB equals th product of eigenvalues of A and eigenvalues of B. It is clear from the example given by  hank612 at floor 5. There both A and B have two eigenvalues a and 1/a, but AB has eigenvalues x and 1/x, which are clearly not products of a , 1/a or whatsoever. I must confest that was my initial guess as well but I didn't dare to speak out.
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9楼2014-12-13 17:20:14
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)
★
feixiaolin: 金币+1 2014-12-13 20:34:45
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9楼: Originally posted by pippi6 at 2014-12-13 17:20:14
Well, I am afraid so, if your do claim that product of the eigenvalues of AB equals th product of eigenvalues of A and eigenvalues of B. It is clear from the example given by  hank612 at floor 5. Th ...

Let's do some math together. The product  of eigenvalu was of AB is x*x^(-1)=1. The product of eigenvalues of A and eigenvalues of B is a*a^(-1)*a*a^(-1)=1. So 1=1. I think you misunderstood my claim or you didn't finish my claim. Don't be shy. Just speak out frankly. On science, particularly in math, we believe truth is unique. Honestly, the claim is just the usage of det(AB)=det(A)det(B) and det(A)= product of eigs of A. An exercise of basic linear algebra. Hope it's clear now.

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10楼2014-12-13 19:59:02
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