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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教一道特征值问题
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qbyteqbyte

木虫 (著名写手)

[求助] 请教一道特征值问题

已知条件：A，B：V ——> V为向量空间V到其自身的线性映射。
求证：AB 和 BA 具有相同的特征值

尝试解决方法：
(1)、当特征值c不为零时
AB(v)=cv ，且 v 与 B(v) 均不为零
BAB(v)=B(cv)=cB(v)，由此得出 c 为 BA 的一个特征值，对应特征向量 B(v)
(2)、当特征值c为零时  AB(v)=0
case a：B(v) 不为零，这时证明方法同(1)
case b：B(v)=0，即 0 是 B 的一个特征值
             考虑A，若 A 也具有特征值0，则 BA 有特征值 0，得证。
             若0不是A的特征值，则说明只有 A(0)=0，故A是单射
             if V是有限维的，则 A 是一一映射 故 A(V) = V （A(V) 表示映射 A 的像集）
                    从而存在 v' 使得 BA(v') = 0
            if V是无限维的，..........


以上提供了我的解题思路，当特征值为0 ，向量空间 V 无限维时不会证明了，还忘高人指点。
我的解题方案只是反映了我的思考过程，并不是规定必须在这个框架内考虑问题。当然请不要用到奇异性和行列式等工具。
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难道你以为月亮只有在我们抬头看它的时候才真的存在吗
1楼2012-04-28 09:41:57
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cars

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qbyteqbyte: 金币+2, 感谢提供帮助 2012-04-28 10:44:52
你不是都已经证出来了吗。
ABv=cv ，其中v不等于0。(因v不为0，于是Bv也不为零，可用反证)。[注c没有要求是否为0]
BABv=B(cv)=c(Bv)，因前已证Bv不为0，因此得出 c 为 BA 的一个特征值，对应特征向量 Bv。[注，不论c是否为0均成立]
因此，AB的特征值一定是BA的特征值，同理BA的一定是AB的。
因此，AB与BA有相同的特征值。但对于重根的情况得考虑一下。
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2楼2012-04-28 10:39:07
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qbyteqbyte

木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by cars at 2012-04-28 10:39:07:
你不是都已经证出来了吗。
ABv=cv ，其中v不等于0。(因v不为0，于是Bv也不为零，可用反证)。
BABv=B(cv)=c(Bv)，因前已证Bv不为0，因此得出 c 为 BA 的一个特征值，对应特征向量 Bv。
因此，AB的特征值一定是B ...

很感谢你的回复，但我觉得“因v不为0，于是Bv也不为零”这句话有待商榷
B只是一个线性映射，特殊地可以选取B把所有的点都映射到0，这个反例证明了你的推理不正确
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难道你以为月亮只有在我们抬头看它的时候才真的存在吗
3楼2012-04-28 10:43:50
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laosam280

禁虫 (正式写手)
★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qbyteqbyte: 金币+2, ★有帮助, 谢谢帮助 2012-04-28 11:06:32
本帖内容被屏蔽
4楼2012-04-28 10:58:09
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laosam280

禁虫 (正式写手)
本帖内容被屏蔽
5楼2012-04-28 11:00:46
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qbyteqbyte

木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by laosam280 at 2012-04-28 10:58:09:
（1）先证：n阶方阵AB-E与BA-E具有相同的可逆性
                其实，只要证AB-E可逆时，
                考察=
        ==
        ==E。
        （2）证：当A、B均为n阶方阵时，AB与BA有相同的特征值。分二部进行，
                 设λ是AB的 ...

感谢回帖应助，考虑奇异性和行列式来处理λ=0的情形我是知道的。
但由于这道题出现在行列式之前，我想应该会有不借助行列式的推理方法。而且你一开始就提到了n阶方正，我的疑惑主要在V是无限维空间时如何证明。
你的方法处理有限维空间时是正确的，谢谢。但仍不是我想要的答案
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难道你以为月亮只有在我们抬头看它的时候才真的存在吗
6楼2012-04-28 11:05:51
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ligrid

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qbyteqbyte: 金币+26, ★★★很有帮助, 谢谢 2012-04-30 15:35:29
soliton923: 金币-24, LZ操作失误~~望谅解~~ 2012-04-30 19:24:30
题目的意思是仅仅证明AB和BA有一个相同的特征值呢，还是证明它们的谱完全一样？若是前者，楼主已经证明了。
若是后者，考虑（x_1, x_2,....）上的左移算子A与右移算子B，很明显AB=I, 而BA具有0特征值。
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7楼2012-04-29 15:48:27
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qbyteqbyte

木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by ligrid at 2012-04-29 15:48:27:
题目的意思是仅仅证明AB和BA有一个相同的特征值呢，还是证明它们的谱完全一样？若是前者，楼主已经证明了。
若是后者，考虑（x_1, x_2,....）上的左移算子A与右移算子B，很明显AB=I, 而BA具有0特征值。

这里需要证明的是AB和BA所有的特征值都相等，我可以在有限维情况下证明这一命题。但无限维时不会
你所举的左移算子和右移算子只是特例并不能证明这一命题。
感谢帮助
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难道你以为月亮只有在我们抬头看它的时候才真的存在吗
8楼2012-04-30 15:37:41
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ligrid

木虫 (小有名气)
给出这个反例只想说明当无穷维空间时，结论是不对的。
AB和BA的谱可能差一个0值。
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qbyteqbyte
9楼2012-04-30 19:26:21
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qbyteqbyte

木虫 (著名写手)
送鲜花一朵
引用回帖:
9楼: Originally posted by ligrid at 2012-04-30 19:26:21:
给出这个反例只想说明当无穷维空间时，结论是不对的。
AB和BA的谱可能差一个0值。

多谢了，你提供的例子很好。
确实证明了无限维空间中这一性质不成立。
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难道你以为月亮只有在我们抬头看它的时候才真的存在吗
10楼2012-05-03 13:58:38
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