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qbyteqbyte木虫 (著名写手)
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请教一道特征值问题
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已知条件：A，B：V ——> V为向量空间V到其自身的线性映射。 求证：AB 和 BA 具有相同的特征值 尝试解决方法： (1)、当特征值c不为零时 AB(v)=cv ，且 v 与 B(v) 均不为零 BAB(v)=B(cv)=cB(v)，由此得出 c 为 BA 的一个特征值，对应特征向量 B(v) (2)、当特征值c为零时 AB(v)=0 case a：B(v) 不为零，这时证明方法同(1) case b：B(v)=0，即 0 是 B 的一个特征值 考虑A，若 A 也具有特征值0，则 BA 有特征值 0，得证。 若0不是A的特征值，则说明只有 A(0)=0，故A是单射 if V是有限维的，则 A 是一一映射 故 A(V) = V （A(V) 表示映射 A 的像集） 从而存在 v' 使得 BA(v') = 0 if V是无限维的，.......... 以上提供了我的解题思路，当特征值为0 ，向量空间 V 无限维时不会证明了，还忘高人指点。 我的解题方案只是反映了我的思考过程，并不是规定必须在这个框架内考虑问题。当然请不要用到奇异性和行列式等工具。 |
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