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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一个数学不等式的证明题，求交流
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Charlie_Li

新虫 (初入文坛)

[求助] 一个数学不等式的证明题，求交流 已有1人参与

我已经能用三次求导得到答案，但是现在用更简单的方法去做，比如数学归纳法能不能行。
题目：n*3^n>n^3+3^n 当且仅当n>1时成立

一个数学不等式的证明题，求交流
图.jpg
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1楼 2014-10-25 09:23:09
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ayismas

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
此题用数学归纳法非常容易证明（不用导数的相关知识），证明步骤如下：
第一步：证明对于任意的n≥3,3^n≥n^3成立
数学归纳法：
        明显上面不等式对n=3时成立
        假设当n=k(k≥3)时亦成立，即3^k-k^3≥0
        当n=k+1时，
3^(k+1)-(〖k+1)〗^3≥3^(k+1)-(k+k/3)^3    (k≥3)
〖    =3〗^(k+1)-64/27 k^3
≥3^(k+1)-3k^3
         =3(3^k-k^3 )≥0
因此命题得证
下面证明对于任意的n≥2,n3^n>n^3+3^n恒成立
数学归纳法证明如下：
        计算易知当n=2,3时，不等式成立
        假设当n=k(k≥3)时，不等式亦成立，即(k-1) 3^k-k^3>0
        当n=k+1时，
            k3^(k+1)-(k+1)^3
           >3^(k+1)-(k+1)^3
           ≥0
因此命题得证
即：对于任意的n>1,n3^n>n^3+3^n恒成立
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4楼2014-10-25 13:34:08
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Charlie_Li

新虫 (初入文坛)
图示错误，应该修正为n>1！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
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2楼2014-10-25 09:24:45
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
这个， 如果你有耐心，还是可以直接看出的
（1）当 x>0时， x> ln(1+x) 这是基石

(2) 这意味着当k>1时，
有

(3) 设n>3, 则 让k=n/3，会有
即
那么当然有

(4) 单独讨论n=2, n=3时不等式是否成立。
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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-10-25 09:36:28
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ayismas

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
Charlie_Li: 金币+5, ★★★★★最佳答案, good 2014-10-25 19:59:17
引用回帖:
4楼: Originally posted by ayismas at 2014-10-25 13:34:08
此题用数学归纳法非常容易证明（不用导数的相关知识），证明步骤如下：
第一步：证明对于任意的n≥3,3^n≥n^3成立
数学归纳法：
        明显上面不等式对n=3时成立
        假设当n=k(k≥3)时亦成立，即3^k-k^3≥0
        当n=k+1 ...

没有编辑好，又不能修改，贴上图片格式的答案：
一个数学不等式的证明题，求交流-1
证明方法.jpg
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5楼2014-10-25 13:38:53
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