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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求不等式方程的解法
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citihome

木虫 (正式写手)

[交流] 求不等式方程的解法已有3人参与

其中既包含值域约束,不等式中也包含导数.请问这样的方程如何求解?
求不等式方程的解法
loss.JPG
求不等式方程的解法-1
inequation.JPG[ Last edited by citihome on 2014-8-25 at 15:50 ]
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    • 2014-08-25 15:50:05, 270.4 K

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1楼2014-08-24 11:13:47
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
10楼: Originally posted by citihome at 2014-08-25 18:29:55
能把你的步骤写写么(这里不仅有y'和y，还有y''.没想到怎么就全部变成y'相关的方程了）
没跟上...

第二个方程：令u=y'，
故y''=dy'/dx=dy'/dy*dy/dx=u*du/dy,
代入原方程后，
3/[1+e^(-y)]*u^2-3/2=u*du/dy=1/2*d(u^2)/dy,
整理后得：d(u^2)/dy-6/[1+e^(-y)]*u^2=-3
这是一个u^2的一阶线性非其次常微分方程，代入专门的求解公式后得到:
u^2=(y')^2=C*(1+e^y)^6-3*(1+e^y)/5-3*(1+e^y)^2/4-(1+e^y)^3-3*(1+e^y)^4/2-3*(1+e^y)^5-3*(1+e^y)^6*Ln(1+e^y)-3*y*(1+e^y)^6
Integral{dy/SQRT[C*(1+e^y)^6-3*(1+e^y)/5-3*(1+e^y)^2/4-(1+e^y)^3-3*(1+e^y)^4/2-3*(1+e^y)^5-3*(1+e^y)^6*Ln(1+e^y)-3*y*(1+e^y)^6
]}=A ± x
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11楼2014-08-25 19:11:18
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普通回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
设


则可以构造函数


那么函数p(x)满足下列条件：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-08-24 16:02:48
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
问题在于, 这类问题跟普通微分方程组不同,不存在简单的"通解";
而且求解的区间有限制时,解的花样可能更多;
所以, 除非给出更详细的问题的背景,否则难以有好的答案.
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
3楼2014-08-24 17:49:11
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
因为p∈[0,1],故p≥0
而由题设条件 p*dp/dx≥0
故 dp/dx≥0
因为(dp/dx)^2+p*d^2p/dx^2=d(p*dp/dx)/dx
故有0≤d(p*dp/dx)/dx≤d^2p/dx^2
两边积分后得：
C≤p*dp/dx≤dp/dx + D
F+C*x≤ p^2≤p+D*x + G
C、D、F、G均为积分常数。
由 p^2≥F+C*x，解得:
p(x)≤-SQRT(F+C*x)                                                                                 (1)
或
p(x)≥SQRT(F+C*x)                                                                                  (2)
由p^2≤p+D*x + G，解得:
1/2*{1-SQRT[1+4*(D*x + G)]}≤p≤1/2*{1+SQRT[1+4*(D*x + G)]}               (3)
联立(1)、(3)或联立(2)、(3)求得p(x)。这两个解的合集即为所要求的解。
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4楼2014-08-24 19:48:25
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
4楼: Originally posted by peterflyer at 2014-08-24 19:48:25
因为p∈,故p≥0
而由题设条件 p*dp/dx≥0
故 dp/dx≥0
因为(dp/dx)^2+p*d^2p/dx^2=d(p*dp/dx)/dx
故有0≤d(p*dp/dx)/dx≤d^2p/dx^2
两边积分后得：
C≤p*dp/dx≤dp/dx + D
F+C*x≤ p^2≤p+D*x + G
C、D、F、 ...

对了，刚才的求解中忘了将条件p∈[0,1]加上。加上后，（1）的解集和（3）的解集中小于零的部分不合题意被舍去，则得：

因为p∈[0,1],故p≥0
而由题设条件 p*dp/dx≥0
故 dp/dx≥0
因为(dp/dx)^2+p*d^2p/dx^2=d(p*dp/dx)/dx
故有0≤d(p*dp/dx)/dx≤d^2p/dx^2
两边积分后得：
C≤p*dp/dx≤dp/dx + D
F+C*x≤ p^2≤p+D*x + G
C、D、F、G均为积分常数。
由 p^2≥F+C*x，解得:
p(x)≤-SQRT(F+C*x)                                                                                 (1)
或
p(x)≥SQRT(F+C*x)                                                                                  (2)
由p^2≤p+D*x + G，解得:
1/2*{1-SQRT[1+4*(D*x + G)]}≤p≤1/2*{1+SQRT[1+4*(D*x + G)]}               (3)
因为 p∈[0,1]，解集中小于零的部分不合题意被舍去，则得：
令f(x)=Max{SQRT(F+C*x) , 1/2*{1+SQRT[1+4*(D*x + G)]}}≤1
则：
   0≤p(x)≤f(x)≤1  是所求问题的解。
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5楼2014-08-24 19:58:54
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citihome

木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by peterflyer at 2014-08-24 19:58:54
对了，刚才的求解中忘了将条件p∈加上。加上后，（1）的解集和（3）的解集中小于零的部分不合题意被舍去，则得：

因为p∈,故p≥0
而由题设条件 p*dp/dx≥0
故 dp/dx≥0
因为(dp/dx)^2+p*d^2p/dx^2=d(p*dp/dx ...

谢谢
如果是这个不等式方程能解么?
见贴图
求不等式方程的解法-2
loss.JPG
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6楼2014-08-25 14:51:54
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citihome

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by cooooldog at 2014-08-24 17:49:11
问题在于, 这类问题跟普通微分方程组不同,不存在简单的"通解";
而且求解的区间有限制时,解的花样可能更多;
所以, 除非给出更详细的问题的背景,否则难以有好的答案.

原始问题是求最优 强凸函数(带约束的最优泛函问题)
尝试了好久,都得不到简单的定解条件(附件).
于是尝试去除"最优",只要求能构造强凸就行
结果又不会解解方程
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    • 2014-08-25 15:52:33, 270.4 K
7楼2014-08-25 15:54:35
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citihome

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-24 16:02:48
设
a>0,0<b<\frac{1}{2}e^{-a}
则可以构造函数
p(x)=be^{ax}(x\in)
那么函数p(x)满足下列条件：
Range(p)=
p\frac{dp}{dx}=ab^2e^{2ax}\geqslant 0
0\leqslant\left(\frac{dp}{dx}\right)^2+p\frac ...

谢谢,不知道你怎么想到的
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8楼2014-08-25 15:56:19
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
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6楼: Originally posted by citihome at 2014-08-25 14:51:54
谢谢
如果是这个不等式方程能解么?
见贴图

loss.JPG...

第一个不会做。第二个，令u=y',则会得到一个以u^2为因变量、以y为自变量的一阶线性常微分方程，求解解得(y')^2=C*[y'/(y'-1)]^6-3 ，下面解不出这个以y'为未知数的一元高次方程非线性代数方程，下面的求解也就进行不下去了。
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9楼2014-08-25 18:16:51
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木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by peterflyer at 2014-08-25 18:16:51
第一个不会做。第二个，令u=y',则会得到一个以u^2为因变量、以y为自变量的一阶线性常微分方程，求解解得(y')^2=C*^6-3 ，下面解不出这个以y'为未知数的一元高次方程非线性代数方程，下面的求解也就进行不下去了。...

能把你的步骤写写么(这里不仅有y'和y，还有y''.没想到怎么就全部变成y'相关的方程了）
没跟上
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10楼2014-08-25 18:29:55
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