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citihome木虫 (正式写手)
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[交流]
求不等式方程的解法 已有3人参与
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其中既包含值域约束,不等式中也包含导数.请问这样的方程如何求解? loss.JPG  inequation.JPG[ Last edited by citihome on 2014-8-25 at 15:50 ] |
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2014-08-25 15:50:05, 270.4 K
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peterflyer 
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因为p∈[0,1],故p≥0 而由题设条件 p*dp/dx≥0 故 dp/dx≥0 因为(dp/dx)^2+p*d^2p/dx^2=d(p*dp/dx)/dx 故有0≤d(p*dp/dx)/dx≤d^2p/dx^2 两边积分后得： C≤p*dp/dx≤dp/dx + D F+C*x≤ p^2≤p+D*x + G C、D、F、G均为积分常数。 由 p^2≥F+C*x，解得: p(x)≤-SQRT(F+C*x) (1) 或 p(x)≥SQRT(F+C*x) (2) 由p^2≤p+D*x + G，解得: 1/2*{1-SQRT[1+4*(D*x + G)]}≤p≤1/2*{1+SQRT[1+4*(D*x + G)]} (3) 联立(1)、(3)或联立(2)、(3)求得p(x)。这两个解的合集即为所要求的解。 |
4楼2014-08-24 19:48:25
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3楼2014-08-24 17:49:11
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对了，刚才的求解中忘了将条件p∈[0,1]加上。加上后，（1）的解集和（3）的解集中小于零的部分不合题意被舍去，则得： 因为p∈[0,1],故p≥0 而由题设条件 p*dp/dx≥0 故 dp/dx≥0 因为(dp/dx)^2+p*d^2p/dx^2=d(p*dp/dx)/dx 故有0≤d(p*dp/dx)/dx≤d^2p/dx^2 两边积分后得： C≤p*dp/dx≤dp/dx + D F+C*x≤ p^2≤p+D*x + G C、D、F、G均为积分常数。 由 p^2≥F+C*x，解得: p(x)≤-SQRT(F+C*x) (1) 或 p(x)≥SQRT(F+C*x) (2) 由p^2≤p+D*x + G，解得: 1/2*{1-SQRT[1+4*(D*x + G)]}≤p≤1/2*{1+SQRT[1+4*(D*x + G)]} (3) 因为 p∈[0,1]，解集中小于零的部分不合题意被舍去，则得： 令f(x)=Max{SQRT(F+C*x) , 1/2*{1+SQRT[1+4*(D*x + G)]}}≤1 则： 0≤p(x)≤f(x)≤1 是所求问题的解。 |
5楼2014-08-24 19:58:54
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