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wueast

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[交流] 【求助】求一个三次不等式最小值已有4人参与

如果是平方的话，可以使用柯西不等式计算最小值。这三次方是否也可以使用不等式求最值？
$f(x_{1}...x_{i})=a_{1}x_{1}^{3}+a_{2}x_{2}^{3}+...+a_{n}x_{n}^{3}+\\ \ b_{1}x_{1}^{2}+b_{2}x_{2}^{2}+...+b_{n}x_{n}^{2}+\\ \ c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}+d. \\ st:\sum_{i=1}^{n}x_{i}=1$
其中假设
$a_{1}...a_{n},b_{1}...b_{n},c_{1}...c_{n},d$ 为已知的非负数，
$x_{1}...x_{n}$ 为未知非负数，求使原式取得最小值的
$x_{1}...x_{n}$ 关系。

[ Last edited by wueast on 2010-6-28 at 18:35 ]

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1楼 2010-06-28 16:47:22

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saladin983

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javeey(金币+1):谢谢参与交流 2010-06-29 10:23:37

这个等式约束的最小化问题，数值解倒是不难。讨论解析解的话，可以试试拉格朗日函数的最优性条件，感觉挺棘手的。

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2楼2010-06-28 20:30:44

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wueast

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Originally posted by saladin983 at 2010-06-28 20:30:44:
这个等式约束的最小化问题，数值解倒是不难。讨论解析解的话，可以试试拉格朗日函数的最优性条件，感觉挺棘手的。

谢谢您！
也列出了拉格朗日函数方程，可是方程真是不好解。
如果忽略掉低次方，请问，求下列最小值是否好办一些？

$f(x_{1}...x_{n})=a_{1}x_{1}^3+a_{2}x_{2}^3+...+a_{n}x_{n}^3\\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=1$

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3楼2010-06-28 21:31:22

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onesupeng

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拉格朗日乘子法常用

但是你这个三次方，解析解有点不大可能

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长期招收博士生，参见http://fsl-unsw.com

4楼2010-06-28 22:12:28

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wueast

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Originally posted by onesupeng at 2010-06-28 22:12:28:
拉格朗日乘子法常用

但是你这个三次方，解析解有点不大可能

立方是不太好搞，但那不考虑平方与一次方的，想不用拉格朗日，而用柯西不等式求，但没有搞出来：

$f(x_{1}...x_{n})=a_{1}x_{1}^3+a_{2}x_{2}^3+...+a_{n}x_{n}^3\\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}=1 ,x_{i}\geq 0,a_{i}\geq 0,$

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5楼2010-06-28 22:22:32

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saladin983

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Originally posted by wueast at 2010-06-28 16:22:32:

立方是不太好搞，但那不考虑平方与一次方的，想不用拉格朗日，而用柯西不等式求，但没有搞出来：

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x_{1}...x_{n})=a_{1}x_{1}^3+a_{2}x_{2}^3&plus ...

不用拉格朗日函数，你打算怎么处理约束呢？无约束的话，最小值在0点取到。

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6楼2010-06-28 22:32:14

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