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一个数学不等式的证明题，求交流 已有1人参与
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我已经能用三次求导得到答案，但是现在用更简单的方法去做，比如数学归纳法能不能行。 题目：n*3^n>n^3+3^n 当且仅当n>1时成立  图.jpg |
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2楼2014-10-25 09:24:45
hank612
至尊木虫 (著名写手)
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3楼2014-10-25 09:36:28
ayismas
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【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
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此题用数学归纳法非常容易证明（不用导数的相关知识），证明步骤如下： 第一步：证明对于任意的n≥3,3^n≥n^3成立 数学归纳法： 明显上面不等式对n=3时成立 假设当n=k(k≥3)时亦成立，即3^k-k^3≥0 当n=k+1时， 3^(k+1)-(〖k+1)〗^3≥3^(k+1)-(k+k/3)^3 (k≥3) 〖 =3〗^(k+1)-64/27 k^3 ≥3^(k+1)-3k^3 =3(3^k-k^3 )≥0 因此命题得证 下面证明对于任意的n≥2,n3^n>n^3+3^n恒成立 数学归纳法证明如下： 计算易知当n=2,3时，不等式成立 假设当n=k(k≥3)时，不等式亦成立，即(k-1) 3^k-k^3>0 当n=k+1时， k3^(k+1)-(k+1)^3 >3^(k+1)-(k+1)^3 ≥0 因此命题得证 即：对于任意的n>1,n3^n>n^3+3^n恒成立 |
4楼2014-10-25 13:34:08
ayismas
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