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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 解方程y'=c(1+e^y)^2
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citihome

木虫 (正式写手)

[求助] 解方程y'=c(1+e^y)^2 已有3人参与

移项得
y'/(1+e^y)^2=c
两边对x积分
int dy/(1+e^y)^2←两次sigmoid函数积分的结果
=cx+b←某常数
不仅积分困难,且逆求y的 x表达式也困难
有什么数值包处理这个逆积分式的( 类似与分布函数由概率确定积分终点)？
或者如果只能处理一次sigmoid积分，也即f(y)=int dy/(1+e ^y),怎么利用这个计算二阶积分？
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1楼 2014-08-28 00:53:18
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回帖置顶 ( 共有2个 )

citihome

木虫 (正式写手)
citihome: 回帖置顶 2014-08-28 07:56:41
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-28 07:13:25
\frac{dy}{(1+e^y)^2}=dx

\int\frac{1}{(1+e^y)^2}dy=\intdx

\ln\frac{e^y}{1+e^y}+\frac{1}{1+e^y}=x+c

验证了一下，正确。
大神，这个是怎么想到的，如果现在要求y'=(1+e^y)^k的话
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3楼2014-08-28 07:36:32
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citihome

木虫 (正式写手)
citihome: 回帖置顶 2014-08-28 07:56:12
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-28 07:13:25
\frac{dy}{(1+e^y)^2}=dx

\int\frac{1}{(1+e^y)^2}dy=\intdx

\ln\frac{e^y}{1+e^y}+\frac{1}{1+e^y}=x+c

验证了一下，完全正确
请问这个是怎么得到的，比如问题一般化为是 y'=(1+e^y )^k
另外上面的表达式能以正向的形式给出y定义么？
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4楼2014-08-28 07:40:51
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+5 2014-08-29 06:58:19





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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2014-08-28 07:13:25
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普通回帖

citihome

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-08-28 07:13:25
\frac{dy}{(1+e^y)^2}=dx

\int\frac{1}{(1+e^y)^2}dy=\intdx

\ln\frac{e^y}{1+e^y}+\frac{1}{1+e^y}=x+c

int dy/(1+e^y)^2←两次sigmoid函数积分的结果
=-ln(1+e^{-y} )+1/(1+e^y)←对数sigmoid+(1-sigmoid)
=Cx+b←某常数
逆求y的 x表达式似乎困难，两边同时取指数，左边结构为sigmoid e^{  
1-sigmoid},整个对应gamma分布函数，alpha=2,beta=1,可惜没有gamma概率的逆函数，虽然gamma概率整体没有逆，但我们的情形对应(0,1)区间，
有什么数值包有这个逆函数的？
或者如果只能处理一次sigmoid积分，也即f(y)=int dy/(1+e ^y),怎么利用这个计算二阶积分？
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5楼2014-08-28 08:36:35
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Nonsmooth

银虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
我的条件反射是令u=e^y，你试试看。
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学术无国界。
6楼2014-08-28 11:11:25
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citihome

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by Nonsmooth at 2014-08-28 11:11:25
我的条件反射是令u=e^y，你试试看。

2楼的正确
但不知道他是怎么想到的
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7楼2014-08-28 15:14:08
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Nonsmooth

银虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by citihome at 2014-08-28 15:14:08
2楼的正确
但不知道他是怎么想到的...

关键是看方法呀！一般的方法是变量替换后变成了多项式方程，然后通过求特征值可以解出。
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学术无国界。
8楼2014-08-28 15:19:50
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
citihome(feixiaolin代发): 金币+5 2014-08-29 07:06:54
y'=c(1+e^y)^2
Integral{dy/(1+e^y)^2}=c*x+A
A为积分常数。
令u=1+e^y
y=Ln(u-1),du=du/(u-1)
Integral{du/[u^2*(u-1)]}=c*x+A
而因为：1/[u^2*(u-1)]}=-1/u^2-1/u+1/(u-1)
1/u-Lnu+Ln(u-1)=c*x+A
1/[1+e^y]+Ln[e^y/(1+e^y)]=c*x+A
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9楼2014-08-29 06:07:15
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citihome

木虫 (正式写手)
引用回帖:
9楼: Originally posted by peterflyer at 2014-08-29 06:07:15
y'=c(1+e^y)^2
Integral{dy/(1+e^y)^2}=c*x+A
A为积分常数。
令u=1+e^y
y=Ln(u-1),du=du/(u-1)
Integral{du/}=c*x+A
而因为：1/}=-1/u^2-1/u+1/(u-1)
1/u-Lnu+Ln(u-1)=c*x+A
1/+Ln=c*x+A...

谢谢
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10楼2014-08-29 07:35:45
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