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lilei119

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[交流] 【求助】多元方程组求解及拟合已有2人参与

多元非线性方程组：
(x10-x1)/y=abx1/(1+bx1+cx2+dx3+ex4)
(x20-x2)y=acx2/(1+bx1+cx2+dx3+ex4)
(x30-x3)/y=adx3/(1+bx1+cx2+dx3+ex4)
(x40-x4)/y=aex4/(1+bx1+cx2+dx3+ex4)
其中x10,x20,x30,x40 都是已知的常数，abcde是待拟合的常数，现已知一系列的x1,x2,x3,x4和y值，要拟合出上述abcde5个参数，上面的方程组看样子是无法手工消元然后用一元非线性拟合了，类似的文献说用牛顿-拉弗逊迭代法，各位专家帮看看这个问题解决起来的难度？并告知具体或者大概步骤。不甚感激

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1楼2011-03-12 19:13:30

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forcal

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zzuwangshilei(金币+1): 鼓励交流 2011-03-12 20:26:58

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2楼2011-03-12 20:19:36

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lilei119

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xiegangmai(金币+1): 鼓励讨论交流！ 2011-04-10 21:42:25

引用回帖:

Originally posted by forcal at 2011-03-12 20:19:36:
如果楼主方便，可以给出数据，没有数据，就不知道难度有多大。
一般的拟合软件都可以给出解决此类问题的代码，这没有任何难度。
Forcal解法参考：http://www.forcal.net/sysm/forcal9/fchtm/fcopt.htm

谢谢回复，
问题是这样的，
有一个方程组：

(x10-x1)/y=a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x20-x2)y=a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x30-x3)/y=a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x40-x4)/y=a*e*x4/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)

x10,x20,x30,x40,y是自变量，x1,x2,x3,x4是因变量，a,b,c,d,e是常数，现已给出26组关于x1,x2,x3,x4x10,x20,x30,x40,y数据，要拟合a,b,c,d,e 这5个
参数。
拟合时的约束条件是让SSD这个值最小：

SSD = Σ[ (x1 – x1 (model))2 / (x10)2+ (x2- x2(model))2 / (x20)2+ (x3- x3(model))2 /(x30)2 + (x4- x4(model))2 / (x40) 2]
这里：x1(model)预测值，

下面用化学语言重新表达一遍上述问题。

y是吸附剂，x1,x2,x3,x4是4个被吸附物质，每个物质的吸附都符合Langmuir 模型，

即单独吸附x1的时候，满足公式：

(x10-x1)/y=a*b*x1/(1+b*x1)
，x10是x1的初始浓度，x1是x1吸附平衡时的浓度，y是吸附剂的投量。a，b是吸附常数。

现把x1,x2,x3,x4和y同时放入反应器，简单计算后各物质平衡浓度会同时满足以下4个方程：

(x10-x1)/y=a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x20-x2)y=a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x30-x3)/y=a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
(x40-x4)/y=a*e*x4/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)
即：x10,x20,x30,x40是各物质的初始浓度，x1,x2,x3,x4吸附平衡后各物质浓度，a,b,c,d,e是吸附常数，现有26组实验，已测各物质的初始浓度和吸附平衡之后的浓度，现要拟合a,b,c,d,e 这5个
参数。

拟合时的约束条件是让SSD这个值最小：

SSD = Σ[ (x1 – x1 (model))2 / (x10)2+ (x2- x2(model))2 / (x20)2+ (x3- x3(model))2 /(x30)2 + (x4- x4(model))2 / (x40) 2]
这里：x1(model)预测值，

数据如下
Y       X10       X1       X20       X2       X30       X3       X40       X4
0.098709898       0       0       0       0       0.001071429       1.2854E-05       0       0
0.034516927       0       0       0       0       0.001071429       2.27537E-05       0       0
0.023548457       0       0       0       0       0.001071429       4.57405E-05       0       0
0.009339838       0       0       0       0       0.001071429       0.000158461       0       0
0.001373626       0       0       0       0       0.001071429       0.000714286       0       0
0.000446429       0       0       0       0       0.001071429       0.000928571       0       0
2.67857E-05       3.74667E-05       0.0000324       0.000103226       9.03226E-05       0       0       0       0
5.35714E-05       3.81333E-05       2.86667E-05       0.000103226       7.41935E-05       0       0       0       0
8.92857E-05       3.69333E-05       0.000022       0.0001       5.51613E-05       0       0       0       0
0.000142857       0.0000364       0.0000136       9.83871E-05       2.99355E-05       0       0       0       0
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8.03571E-05       2.26667E-06       1.5569E-06       9.67742E-05       4.96451E-05       0.001066071       0.001066071       0.0000044       4.30976E-06
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0.000321429       4.53333E-06       1.51089E-07       9.67742E-05       2.6058E-07       0.000985714       0.000985714       2.13333E-06       1.3468E-06
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3楼2011-04-10 08:18:58

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Originally posted by forcal at 2011-04-10 21:30:21:
看不出楼主的目标函数有多少意义，以下目标函数不可以吗？
[(x10-x1)/y-a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2
+[(x20-x2)/y-a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2
+[(x30-x3)/y-a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2 ...

谢谢你，此外，关于目标函数，文献是用的这个，所以想对比一下我和他的结果如何。如果方便实现的话能否帮弄弄按我我的目标函数再走一下？此外，最后那个误差怎么理解？如何用它来说明拟合的精确度？非常感谢，您帮了我的大忙。
此外，我下载了forcal，按您的程序计算后结果不显示，说not registered。请教如何注册？

[ Last edited by lilei119 on 2011-4-11 at 07:13 ]

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5楼2011-04-11 06:27:46

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6楼2011-04-11 16:36:07

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Originally posted by forcal at 2011-04-11 16:36:07:
您的目标函数是有些问题的，例如，x10、x20等有时为0，却做了除数，导致目标函数无意义。即便目标函数有意义，但仍感觉会费力不讨好。

最后的误差sqrt[s/(max*4)]用s代替也可，但用sqrt[s/(max*4)]能看出每个 ...

好的，再请教有办法可以求出每个参数的误差？就是每个值写成a+-b的形式。这样似乎更直观，不过不行也没关系，已经帮大忙了。

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7楼2011-04-11 22:55:08

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引用回帖:

谢谢forcal 老师的回复，约束方程稍微改了该，能否再耽误您时间帮忙看看？

(x10-x1)/y=a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4) (1)
(x20-x2)y=a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)    (2)
(x30-x3)/y=a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)    (3)
(x40-x4)/y=a*e*x4/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)    (4)

x10,x20,x30,x40,y是自变量，x1,x2,x3,x4是因变量，a,b,c,d,e是常数，现已给出26组关于x1,x2,x3,x4x10,x20,x30,x40,y数据，要拟合a,b,c,d,e 这5个
参数。
拟合时的约束条件是让SSD这个值最小：

SSD = Σ[ (x1 – x1 (model))2 + (x2- x2(model))2 + (x3- x3(model))2  + (x4- x4(model))2 ]
SSD = Σ[ (x1 – x1 (model))2 + (x2- x2(model))2 + (x3- x3(model))2  + (x4- x4(model))2 ]
这里：x1,x2,x3,x4是实验测出来的值（数据见下），x1(model)，x2(model)，x3(model)，x4(model)是指上面方程组(方程（1）（2）（3）（4））根据给出的数据（数据见下）y, x10,x20,x30,x40和5个参数求出的解。此外，求解该方程组会有多组解，所以还需要限制条件（即 0 不知道这个是否能实现，非常感谢您的帮助！！

数据如下
Y       X10       X1       X20       X2       X30       X3       X40       X4
0.098709898       0       0       0       0       0.001071429       1.2854E-05       0       0
0.034516927       0       0       0       0       0.001071429       2.27537E-05       0       0
0.023548457       0       0       0       0       0.001071429       4.57405E-05       0       0
0.009339838       0       0       0       0       0.001071429       0.000158461       0       0
0.001373626       0       0       0       0       0.001071429       0.000714286       0       0
0.000446429       0       0       0       0       0.001071429       0.000928571       0       0
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0.000214286       4.06667E-06       4.46554E-07       9.67742E-05       1.06928E-06       0.001028571       0.001028571       0.0000026       2.22222E-06
0.000321429       4.53333E-06       1.51089E-07       9.67742E-05       2.6058E-07       0.000985714       0.000985714       2.13333E-06       1.3468E-06
0.000535714       4.99333E-06       4.66667E-08       9.67742E-05       9.67742E-08       0.000942857       0.000942857       1.67333E-06       6.06667E-07

[ Last edited by lilei119 on 2011-5-25 at 10:16 ]

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8楼2011-05-25 09:59:18

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forcal

禁虫 (初入文坛)

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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
臭水沟(金币+1): 谢谢参与！ 2011-05-26 22:59:42

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9楼2011-05-26 18:21:58

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lilei119

新虫 (正式写手)

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引用回帖:

4楼: Originally posted by forcal at 2011-04-10 21:30:21:
看不出楼主的目标函数有多少意义，以下目标函数不可以吗？
[(x10-x1)/y-a*b*x1/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2
+[(x20-x2)/y-a*c*x2/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2
+[(x30-x3)/y-a*d*x3/(1+b*x1+c*x2+d*x3+e*x4)]^2 ...

forcal老师，这个程序非常有用，后来用在其他数据上时碰到一个问题：由于数据不够多，约束性不太好，所以拟合的时候每次运行，结果可能都不一样，并且有时候出现bcde某个或者某几个值出现负数的情况。由于abcde都是正数，想在程序里把这个条件加进去可能可以排除一些无效解，不知道如何加？望赐教。

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10楼2012-01-06 05:00:34

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