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Nordictokyo铜虫 (小有名气)
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求助一个微分方程的解。 已有2人参与
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方程如， y' = a y2 + b y + c (a, b, c为3个常数，左边为y的微分，右边第一项为y的平方，第二项为y的一次方) 另外，已知边界条件是，x=0时，y=d。 求助此方程通解。致谢！！ 如果能附上解答过程更好。 |
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Nordictokyo(feixiaolin代发): 金币+8 2014-06-15 10:14:25
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dy/{[(y+b/(2*a)]^2+c/a-[b/(2*a)]^2}=a*dx ( a≠0) 以下要分别进行讨论： (1) c/a-[b/(2*a)]^2=0 d{-1/[y+b/(2*a)]}=d(Const + a*x) y= --b/(2*a) --1/[Const + a*x] 已知边界条件是，x=0时，y=d Const=--2*a/[2*a*d + b] y= --b/(2*a) --1/[a*x-2*a/(2*a*d + b)] (2) c/a-[b/(2*a)]^2≥0 令m^2= c/a-[b/(2*a)]^2 dy/{[(y+b/(2*a)]^2+c/a-[b/(2*a)]^2} =dy/{[(y+b/(2*a)]^2+m^2} =1/m*d{Arctg{[y+b/(2*a)]/m}} Arctg{[y+b/(2*a)]/m}/m= a*x + Const 已知边界条件是，x=0时，y=d Const=Arctg{[d+b/(2*a)]/m}/m (3) c/a-[b/(2*a)]^2<0 令m^2=- c/a + [b/(2*a)]^2 dy/{[(y+b/(2*a)]^2+c/a-[b/(2*a)]^2} =dy/{[(y+b/(2*a)]^2--m^2} =1/(2*m)*d{Ln{[y+b/(2*a)]--m}/{[y+b/(2*a)]+m}} 1/(2*m)*{Ln{[y+b/(2*a)]--m}/{[y+b/(2*a)]+m}}=Const+a*x 已知边界条件是，x=0时，y=d Const=1/(2*m)*{Ln{[d+b/(2*a)]--m}/{[d+b/(2*a)]+m}} |
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