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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助一个微分方程的解。
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Nordictokyo

铜虫 (小有名气)

[求助] 求助一个微分方程的解。 已有2人参与

方程如，
y' = a y2 + b y + c
(a, b, c为3个常数，左边为y的微分，右边第一项为y的平方，第二项为y的一次方)
另外，已知边界条件是，x=0时，y=d。
求助此方程通解。致谢！！
如果能附上解答过程更好。
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1楼 2014-06-13 09:32:05
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ontheway9988

铁虫 (小有名气)
有方法了告诉我一下
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2楼2014-06-13 11:11:52
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Nordictokyo(feixiaolin代发): 金币+8 2014-06-15 10:14:25
dy/{[(y+b/(2*a)]^2+c/a-[b/(2*a)]^2}=a*dx    ( a≠0)
以下要分别进行讨论：
(1) c/a-[b/(2*a)]^2=0
        d{-1/[y+b/(2*a)]}=d(Const + a*x)
         y= --b/(2*a) --1/[Const + a*x]
         已知边界条件是，x=0时，y=d
         Const=--2*a/[2*a*d + b]
        y= --b/(2*a) --1/[a*x-2*a/(2*a*d + b)]
(2)  c/a-[b/(2*a)]^2≥0
      令m^2= c/a-[b/(2*a)]^2
    dy/{[(y+b/(2*a)]^2+c/a-[b/(2*a)]^2}
     =dy/{[(y+b/(2*a)]^2+m^2}
     =1/m*d{Arctg{[y+b/(2*a)]/m}}
     Arctg{[y+b/(2*a)]/m}/m= a*x + Const
       已知边界条件是，x=0时，y=d
      Const=Arctg{[d+b/(2*a)]/m}/m
(3)  c/a-[b/(2*a)]^2<0
       令m^2=- c/a + [b/(2*a)]^2
       dy/{[(y+b/(2*a)]^2+c/a-[b/(2*a)]^2}
        =dy/{[(y+b/(2*a)]^2--m^2}
        =1/(2*m)*d{Ln{[y+b/(2*a)]--m}/{[y+b/(2*a)]+m}}
     1/(2*m)*{Ln{[y+b/(2*a)]--m}/{[y+b/(2*a)]+m}}=Const+a*x
      已知边界条件是，x=0时，y=d
         Const=1/(2*m)*{Ln{[d+b/(2*a)]--m}/{[d+b/(2*a)]+m}}
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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

Nordictokyo
3楼2014-06-14 09:54:04
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Nordictokyo

铜虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by peterflyer at 2014-06-14 10:54:04
dy/{^2+c/a-^2}=a*dx    ( a≠0)
以下要分别进行讨论：
(1) c/a-^2=0
        d{-1/}=d(Const + a*x)
         y= --b/(2*a) --1/
         已知边界条件是，x=0时，y=d
         Const=--2*a/
        y= - ...

牛！谢谢！
稍会儿再来详细解读下
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4楼2014-06-16 08:10:33
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ayismas

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★
Nordictokyo: 金币+2, ★★★很有帮助, 非常感谢！ 2014-06-18 18:08:02
答案如图所示，楼主请查收！

最后的化简楼主自己做吧
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5楼2014-06-17 18:37:08
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