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1楼2014-05-26 12:59:16

leedobb

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【答案】应助回帖

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华丽的飘过: 金币+3, 3q 2014-05-29 23:20:19

第一个积分就是delt(k1-k2)。
第二个积分就是 delt(k1-k2)对k1的导数

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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。

2楼2014-05-26 17:07:39

htiejiang

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2楼: Originally posted by leedobb at 2014-05-26 17:07:39
第一个积分就是delt(k1-k2)。
第二个积分就是 delt(k1-k2)对k1的导数

delta 函数的导数不好求吧，我找了没有相关导数表达式，应该是没有具体表达式。

3楼2014-05-26 17:15:38

peterflyer

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peterflyer

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华丽的飘过: 金币+5, 3q 2014-05-29 23:20:00

(1) 构造一个积分I=Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*abs(x)]*dx,-∞,∞}, 其中β>0。
I=Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[β*x]*dx,-∞,0} +
+ Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=Integral{e^[i*(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*(-dx),∞,0} +
+ Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=Integral{{e^[i*(k1-k2)*x]+e^[-i*(k1-k2)*x]}*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=Integral{{e^[i*(k1-k2)*x]+e^[-i*(k1-k2)*x]}*e^[-β*x]*dx,0,∞}
将欧拉公式代入：
I=2*Integral{Cos[(k1-k2)*x]*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=2*β/[β^2+(k1-k2)^2]
原式=Lim (β-->0+){I}=0

(2)同理:
令J=Integral{e^[-i*(k1-k2)*x]*e^[-β*abs(x)]*x*dx,-∞,∞},
其中β>0。
J=-2*i*Integral{Sin[(k1-k2)*x]*x*e^[-β*x]*dx,0,∞}
=4*i*(k1-k2)*β/{β^2+(k1-k2)^2}^2
原式=Lim (β-->0+){J}=0

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4楼2014-05-28 11:25:09

大风歌_09

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华丽的飘过: 金币+1, 3q 2014-05-29 23:20:13

第一个积分的结果就是delta function即2πδ(k1-k2)，此函数属于广义函数，不是某一确定形式的函数。
第二个貌似可以根据delta function的选择性，选择点是0，此积分结果貌似是0.

5楼2014-05-29 20:09:47

风停了云知道

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【答案】应助回帖

这个跟对信号进行傅里叶变化很像，令k1-k2=omega

6楼2014-05-30 09:40:04

leedobb

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3楼: Originally posted by htiejiang at 2014-05-26 17:15:38
delta 函数的导数不好求吧，我找了没有相关导数表达式，应该是没有具体表达式。...

你只要知道它其实就是delta函数的导数就行了，并不一定要知道它的具体表达式。

delta函数相关的东西都要注意经常只有delta函数的积分才有意义。
学delta函数注意下面几点：
1、注意其“量纲”
2、利用好它的积分等于1这个性质
3、利用好它的变换变量的性质 int(delta(x-x1) f(x)dx =f(x1)
4、知道它的傅利叶变换的表达式，知道它相当于在统计物理里的“能量”上加上一个拉格朗日乘子(k)去约束变量(x)等于0。
5、如何把约束条件用delta函数表达。
6、不要纠缠它的导数及它本身如何具体表达。

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有一天，我打了个瞌睡就到了这里，但我知道我掉入了时光的循环中，虽得以永生，但只有第一个循环有意义。

7楼2014-05-30 13:06:30

htiejiang

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7楼: Originally posted by leedobb at 2014-05-30 13:06:30
你只要知道它其实就是delta函数的导数就行了，并不一定要知道它的具体表达式。

delta函数相关的东西都要注意经常只有delta函数的积分才有意义。
学delta函数注意下面几点：
1、注意其“量纲”
2、利用好它的 ...

谢谢

8楼2014-05-30 16:22:23

htiejiang

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6楼: Originally posted by 风停了云知道 at 2014-05-30 09:40:04
这个跟对信号进行傅里叶变化很像，令k1-k2=omega

和傅立叶变换差不多

9楼2014-05-30 16:30:51