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oofree

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[求助] 请教含指数函数的定积分

遇到下面这样的定积分，一直搞不定，只好来数学版求助
$\int_{0}^{\infty }\textup{exp}(-x^{2}-\frac{m^{2}}{x^{2}})dx$

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1楼2013-09-12 19:58:29

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
oofree: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2013-09-13 00:51:00

我先用Mathematica看到了答案, 然后再还原步骤,所谓知其然后知其所以然也.

你的积分等于 Exp(-2m) * Integrate[ Exp[-(x-m/x)^2], {x, 0, Infinity} ].
把常数因子Exp(-2m)先搁一边, 考虑变量替换 y=x - m/x, 当x 从零到正无穷大时, y从负无穷大到正无穷大, 并且x只能取一个单值分支: x=1/2 * [ y + Sqrt[y^2 +4m] ], 因此 dx/dy = 1/2 + 1/2 * y/Sqrt[y^2+4m].

所以定积分(变量替换后) 为: Integrate[ Exp[ -y^2 ] * (1/2 + 1/2 * y/Sqrt[y^2+4m] ), {y, -Infinity, Infinity}]. 前半部分是现成结果Integrate[ Exp[ -y^2 ] * 1/2, {y, -Infinity, Infinity}] = Sqrt[ Pi ].
后半部部分是个奇函数, 积分为0. 因此原来的定积分答案为: Exp(-2m)* Sqrt[ Pi ].