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漫天雕金虫 (正式写手)
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[求助]
特殊函数求解高手请进，这个类似于Gamma函数的定积分能否求解？
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对于特殊函数gamma函数，可写为积分表达式，若其中参数a<0，能否得到其解析的表达式。哪位高手能够给出一个解析的答案或者一个求解思路？ Gamma function.jpg  Unknown.jpg |
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sishijing
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【答案】应助回帖
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漫天雕: 金币+35, ★★★很有帮助 2013-05-27 23:41:44
漫天雕: 金币+35, ★★★很有帮助 2013-05-27 23:41:44
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我想指出一个事实：当a<0时,Gamma(a) 是发散的。这一点可以由比较判别法得到，参见数学分析的无穷积分章节。 对于Gamma函数的延拓，并不是你理解的那样。Gamma 函数可以延拓到所有除了负整数的负数集，详见华东师大版数学分析（第三版下册）的第192页。 真心希望你能借一本数学分析好好地读一下有关Gamma函数的章节。 另外，你的疑问是不正确的。因为当a<0时, 你给出的反常积分是发散的，所以这个积分是没意义的。 祝好~ |
10楼2013-05-24 18:52:34
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2楼2013-05-23 00:47:36
3楼2013-05-23 08:51:01
sishijing
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【答案】应助回帖
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| 其实呢，作者对无穷积分有一些误解。具体地讲，当a>0时，Gamma(a)是一个反常积分，无穷区间+0点处的无界函数。这一种积分有个特定的名称，即Gamma函数。作者可以参见华东师大组编的数学分析教材，在下册的第十九章最后一节。Gamma函数具有一个很好的性质：Gamma(a+1)=a*Gamma(a)。其实，对于a<=0的时候，Gamma函数代表的积分是发散的。但是，我们可以做一些函数延拓。延拓的依据就是如上的性质。由于Gamma(a+1)=a*Gamma(a)，因而，Gamma(a)=Gamma(a+1)/a。因而，根据Gamma(a), 0<a<1,我们可以算出Gamma(a), -1<a<0。以此类推，我们就可以计算Gamma(a), a<0 了。 |
4楼2013-05-23 22:12:55
漫天雕
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非常感谢您的热心回答！ 您提到的关于Gamma函数的延拓，我的理解是根据Gamma函数的性质Gamma(a+1)=a*Gamma(a)，将原来的Gamma函数的定义扩展到a<0且a为非负整数的情况。 我现在的一个疑问是：我之前给出的当a<0的积分表达式与Gamma(a), a<0是否等价？若等价，即可通过上述递推公式求解出积分式的值。 然而，当x>0时，x.^(a-1)*exp(-x)>0，故积分值应该恒为正。而当如-1<a<0时，Gamma(a)<0，因此认为我之前给出的积分式与Gamma(a)不等价。 不知道我这么分析是否正确？如果正确，那之前的积分式又能否求解？ 还望指点。 |
5楼2013-05-23 23:14:51
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6楼2013-05-23 23:19:29
7楼2013-05-24 11:02:04
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8楼2013-05-24 12:39:27
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